Integral de Fermi – Dirac completa - Complete Fermi–Dirac integral

En matemáticas , la integral de Fermi-Dirac completa , llamada así por Enrico Fermi y Paul Dirac , para un índice j  se define por

${\ Displaystyle F_ {j} (x) = {\ frac {1} {\ Gamma (j + 1)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {j}} {e ^ {tx} +1}} \, dt, \ qquad (j> -1)}$

Esto es igual

${\ Displaystyle - \ operatorname {Li} _ {j + 1} (- e ^ {x}),}$

donde está el polilogaritmo . ${\ Displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (z)}$

Su derivada es

${\ Displaystyle {\ frac {dF_ {j} (x)} {dx}} = F_ {j-1} (x),}$

y esta relación derivada se usa para definir la integral de Fermi-Dirac para índices no positivos j . En la literatura aparece una notación diferente para , por ejemplo, algunos autores omiten el factor . La definición utilizada aquí coincide con la del NIST DLMF . ${\ Displaystyle F_ {j}}$${\ Displaystyle 1 / \ Gamma (j + 1)}$

Valores especiales

La forma cerrada de la función existe para j  = 0:

${\ Displaystyle F_ {0} (x) = \ ln (1+ \ exp (x)).}$

Ver también

• Integral de Fermi-Dirac incompleta
• Función gamma
• Polilogaritmo

Referencias

• Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [Octubre de 2014]. "3.411.3.". En Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. pág. 355. ISBN 0-12-384933-0. LCCN  2014010276 . ISBN  978-0-12-384933-5 .
• RBDingle (1957). Integrales de Fermi-Dirac . Appl.Sci.Res. B6. págs. 225–239.

enlaces externos

• Biblioteca científica GNU - Manual de referencia
• Calculadora integral Fermi-Dirac para iPhone / iPad
• Notas sobre las integrales de Fermi-Dirac
• Sección en la biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST
• npplus : paquete de Python que proporciona (entre otros) integrales e inversas de Fermi-Dirac para varios órdenes comunes.
• MathWorld de Wolfram : Definición dada por MathWorld de Wolfram.

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