Espacio Bochner - Bochner space

En matemáticas , los espacios de Bochner son una generalización del concepto de espacios a funciones cuyos valores se encuentran en un espacio de Banach que no es necesariamente el espacio o de números reales o complejos. ${\ Displaystyle L ^ {p}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

El espacio consta de (clases de equivalencia de) todas las funciones medibles de Bochner con valores en el espacio de Banach cuya norma se encuentra en el espacio estándar . Por tanto, si es el conjunto de números complejos, es el espacio de Lebesgue estándar . ${\ Displaystyle L ^ {p} (X)}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ | f \ | _ {X}}$ ${\ Displaystyle L ^ {p}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle L ^ {p}}$

Casi todos los resultados estándar en espacios también se mantienen en espacios de Bochner; en particular, los espacios de Bochner son espacios de Banach para ${\ Displaystyle L ^ {p}}$ ${\ Displaystyle L ^ {p} (X)}$ ${\ Displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty.}$

Los espacios de Bochner llevan el nombre del matemático polaco - estadounidense Salomon Bochner .

Definición

Dado un espacio de medida, un espacio de Banach y el espacio de Bochner se definen como el cociente de Kolmogorov (por igualdad en casi todas partes ) del espacio de todas las funciones medibles de Bochner , de modo que la norma correspondiente es finita: ${\ Displaystyle (T, \ Sigma; \ mu),}$ ${\ Displaystyle \ left (X, \ | \, \ cdot \, \ | _ {X} \ right)}$ ${\ Displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty,}$ ${\ Displaystyle L ^ {p} (T; X)}$ ${\ Displaystyle u: T \ a X}$

{\ Displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {p} (T; X)}: = \ left (\ int _ {T} \ | u (t) \ | _ {X} ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu (t) \ right) ^ {1 / p} <+ \ infty {\ mbox {for}} 1 \ leq p <\ infty,}

{\ Displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {\ infty} (T; X)}: = \ mathrm {ess \, sup} _ {t \ in T} \ | u (t) \ | _ {X } <+ \ infty.}

En otras palabras, como es habitual en el estudio de espacios, es un espacio de clases de equivalencia de funciones, donde dos funciones se definen como equivalentes si son iguales en todas partes excepto en a - la medida cero subconjunto de As también es habitual en el estudio de tales espacios, es habitual abusar de la notación y hablar de una "función" en lugar de una clase de equivalencia (lo que sería más técnicamente correcto). ${\ Displaystyle L ^ {p}}$ ${\ Displaystyle L ^ {p} (T; X)}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle T.}$ ${\ Displaystyle L ^ {p} (T; X)}$

Aplicaciones

Los espacios de Bochner se utilizan a menudo en el enfoque de análisis funcional para el estudio de ecuaciones diferenciales parciales que dependen del tiempo, por ejemplo, la ecuación de calor : si la temperatura es una función escalar del tiempo y el espacio, se puede escribir para hacer una familia (parametrizada por tiempo ) de funciones del espacio, posiblemente en algún espacio de Bochner. ${\ Displaystyle g (t, x)}$ ${\ Displaystyle (f (t)) (x): = g (t, x)}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f (t)}$

Aplicación a la teoría PDE

Muy a menudo, el espacio es un intervalo de tiempo sobre el que deseamos resolver alguna ecuación diferencial parcial, y será una medida de Lebesgue unidimensional . La idea es considerar una función del tiempo y el espacio como un conjunto de funciones del espacio, estando este conjunto parametrizado por el tiempo. Por ejemplo, en la solución de la ecuación de calor en una región en un intervalo de tiempo se buscan soluciones ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle \ Omega}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle [0, T],}$

{\ Displaystyle u \ in L ^ {2} \ left ([0, T]; H_ {0} ^ {1} (\ Omega) \ right)}

con derivada del tiempo

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial u} {\ parcial t}} \ en L ^ {2} \ left ([0, T]; H ^ {- 1} (\ Omega) \ right).}

Aquí denota el espacio de Sobolev Hilbert de funciones que alguna vez fueron débilmente diferenciables con la primera derivada débil que se desvanece en el límite de Ω (en el sentido de traza, o, de manera equivalente, son límites de funciones suaves con soporte compacto en Ω); denota el espacio dual de