Emitancia del haz - Beam emittance

Muestras de una distribución normal bivariada , que representan partículas en el espacio de fase, con posición horizontal y momento vertical.

La emitancia es una propiedad de un haz de partículas cargadas en un acelerador de partículas . Además de esto, encontramos tres emitancias bidimensionales independientes. El valor numérico de estas emisiones multiplicado por π = al área ocupada por el haz en el plano de fase respectivo. Es una medida de la dispersión promedio de las coordenadas de las partículas en el espacio de fase de posición y momento y tiene la dimensión de longitud (por ejemplo, metros) o longitud por ángulo (metros por radianes). A medida que un haz de partículas se propaga a lo largo de los imanes y otros componentes de un acelerador que manipulan el haz, la extensión de la posición puede cambiar, pero de una manera que no cambia la emitancia. Si la distribución sobre el espacio de fase se representa como una nube en un gráfico (ver figura), la emitancia es el área de la nube. Una definición más exacta maneja los bordes difusos de la nube y el caso de una nube que no tiene forma elíptica.

Un haz de partículas de baja emitancia es un haz donde las partículas están confinadas a una pequeña distancia y tienen casi el mismo momento . Un sistema de transporte de haz solo permitirá partículas que viajen a lo largo de su propia línea de transporte independiente, y las partículas deben pasar por el diámetro del haz y el centro del campo magnético que está conectado a la apertura de enfoque. Cualquier rayo real que emerja de la fuente se verá afectado de alguna manera por las limitaciones de apertura de la cámara de vacío. En un acelerador de haz en colisión, mantener la emitancia pequeña significa que la probabilidad de interacciones de partículas será mayor, lo que dará como resultado una mayor luminosidad . En una fuente de luz de sincrotrón , una emisión baja significa que el haz de rayos X resultante será pequeño y dará como resultado un brillo más alto.

Al determinar la trayectoria del haz de partículas ; se vuelve impráctico centrarse en cada partícula individual y en su propia trayectoria única. En su lugar, utilice otros métodos y operaciones matemáticos para medir el haz como un todo. Determinar las propiedades de la viga en su conjunto; es importante tomar nota de este teorema; indicando que bajo la influencia de fuerzas conservadoras, la densidad de partículas (específicamente la densidad numérica ) en el espacio de fase permanece constante.

Definición

La emisión tiene unidades de longitud, pero generalmente se la denomina "longitud × ángulo", por ejemplo, "milímetro × mili-radianes". Se puede medir en las tres dimensiones espaciales. La dimensión paralela al movimiento de la partícula se denomina emitancia longitudinal y las otras dos dimensiones se denominan emitancias transversales.

Emitancia geométrica

La definición aritmética de una emitancia transversal ( ) es: ${\ Displaystyle \ varepsilon}$

{\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {6 \ pi \ left ({\ text {ancho}} ^ {2} -D ^ {2} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} p} {p} } \ right) ^ {2} \ right)} {B}}}

Donde:

ancho es el ancho del haz de partículas
dp / p es la dispersión del impulso del haz de partículas
D es el valor de la función de dispersión en el punto de medición en el acelerador de partículas
B es el valor de la función beta en el punto de medición en el acelerador de partículas

Dado que es difícil medir el ancho total del haz, se mide el ancho RMS del haz o el valor del ancho que abarca un porcentaje específico del haz (por ejemplo, 95%). La emitancia de estas medidas de ancho se denomina "emitancia RMS" o "emitancia del 95%", respectivamente.

Se debe distinguir la emitancia de una sola partícula de la del haz completo. La emitancia de una sola partícula es el valor de la cantidad invariante

{\ Displaystyle \ epsilon = \ gamma x ^ {2} +2 \ alpha xx '+ \ beta x' ^ {2}}

donde x y x ′ son la posición y el ángulo de la partícula respectivamente y son los parámetros Twiss. (En el contexto de la dinámica hamiltoniana, se debe tener más cuidado de formular en términos de un momento transversal en lugar de x ′ ). Esta es la emitancia de una sola partícula. ${\ Displaystyle \ beta, \ alpha, \ gamma}$

Emitancia RMS

En algunos aceleradores de partículas, los parámetros Twiss no se usan comúnmente y la emitancia se define por las estadísticas de espacio de fase de segundo orden del haz . Aquí, la emitancia RMS ( ) se define como, ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ text {RMS}}}$

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ text {RMS}} = {\ sqrt {\ langle x ^ {2} \ rangle \ langle x ^ {\ prime 2} \ rangle - \ langle x \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle ^ {2}}}}$

donde es la varianza de la posición de la partícula, es la varianza del ángulo que forma una partícula con la dirección de viaje en el acelerador ( con a lo largo de la dirección de viaje), y representa una correlación ángulo-posición de las partículas en el haz. Esta definición vuelve a la definición anterior de emitancia geométrica en el caso de una red de acelerador periódica donde se pueden definir los parámetros Twiss. ${\ Displaystyle \ langle x ^ {2} \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ langle x ^ {\ prime 2} \ rangle}$ ${\ Displaystyle x ^ {\ prime} = {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} z}}}$ ${\ Displaystyle z}$ ${\ Displaystyle \ langle x \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle}$

La emitancia también puede expresarse como el determinante de la matriz de varianza-covarianza de las coordenadas del espacio de fase del haz donde queda claro que la cantidad describe un área efectiva ocupada por el haz en términos de sus estadísticas de segundo orden.

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ text {RMS}} = {\ sqrt {\ begin {vmatrix} \ langle x \ cdot x \ rangle & \ langle x \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle \\\ langle x \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle & \ langle x ^ {\ prime} \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle \ end {vmatrix}}}}$

Dependiendo del contexto, algunos también pueden agregar un factor de escala delante de la ecuación de emitancia RMS para que corresponda al área de distribución en forma de elipse llena uniformemente en el espacio de fase.

Emitancia RMS en dimensiones superiores

A veces es útil para hablar de área de espacio de fase, ya sea para cuatro espacio dimensional fase transversal (IE , , , ) o el espacio completo de seis dimensional fase de partículas (IE , , , , , ). Ahora está claro a partir de la definición matricial de emitancia RMS cómo la definición puede generalizarse en dimensiones superiores. ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle x ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle y}$ ${\ Displaystyle y ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle x ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle y}$ ${\ Displaystyle y ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle \ Delta z}$ ${\ Displaystyle \ Delta z ^ {\ prime}}$

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {{\ text {RMS}}, 6D} = {\ sqrt {\ begin {vmatrix} \ langle x \ cdot x \ rangle & \ langle x \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle & \ langle x \ cdot y \ rangle & \ langle x \ cdot y ^ {\ prime} \ rangle & \ langle x \ cdot z \ rangle & \ langle x \ cdot z ^ {\ prime} \ rangle \\\ langle x ^ {\ prime} \ cdot x \ rangle & \ langle x ^ {\ prime} \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle & \ langle x ^ {\ prime} \ cdot y \ rangle & \ langle x ^ {\ prime} \ cdot y ^ {\ prime} \ rangle & \ langle x ^ {\ prime} \ cdot z \ rangle & \ langle x ^ {\ prime} \ cdot z ^ {\ prime} \ rangle \\\ langle y \ cdot x \ rangle & \ langle y \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle & \ langle y \ cdot y \ rangle & \ langle y \ cdot y ^ {\ prime} \ rangle & \ langle y \ cdot z \ rangle & \ langle y \ cdot z ^ {\ prime} \ rangle \\\ langle y ^ {\ prime} \ cdot x \ rangle & \ langle y ^ {\ prime} \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle & \ langle y ^ {\ prime} \ cdot y \ rangle & \ langle y ^ {\ prime} \ cdot y ^ {\ prime} \ rangle & \ langle y ^ {\ prime} \ cdot z \ rangle & \ langle y ^ {\ prime} \ cdot z ^ {\ prime} \ rangle \\\ langle z \ cdot x \ rangle & \ langle z \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle & \ langle z \ cdot y \ rangle & \ l ángulo z \ cdot y ^ {\ prime} \ rangle & \ langle z \ cdot z \ rangle & \ langle z \ cdot z ^ {\ prime} \ rangle \\\ langle z ^ {\ prime} \ cdot x \ rangle & \ langle z ^ {\ prime} \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle & \ langle z ^ {\ prime} \ cdot y \ rangle & \ langle z ^ {\ prime} \ cdot y ^ {\ prime} \ rangle & \ langle z ^ {\ prime} \ cdot z \ rangle & \ langle z ^ {\ prime} \ cdot z ^ {\ prime} \ rangle \\\ end {vmatrix}}}}$

En ausencia de correlaciones entre diferentes ejes en el acelerador de partículas, la mayoría de estos elementos de la matriz se vuelven cero y nos queda un producto de la emitancia a lo largo de cada eje.

${\ displaystyle \ varepsilon _ {{\ text {RMS}}, 6D} = {\ sqrt {\ begin {vmatrix} \ langle x \ cdot x \ rangle & \ langle x \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ langle x ^ {\ prime} \ cdot x \ rangle & \ langle x ^ {\ prime} \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ langle y \ cdot y \ rangle & \ langle y \ cdot y ^ {\ prime} \ rangle & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ langle y ^ {\ prime} \ cdot y \ rangle & \ langle y ^ {\ prime} \ cdot y ^ {\ prime} \ rangle & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ langle z \ cdot z \ rangle & \ langle z \ cdot z ^ {\ prime} \ rangle \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ langle z ^ {\ prime} \ cdot z \ rangle & \ langle z ^ {\ prime} \ cdot z ^ {\ prime} \ rangle \\\ end {vmatrix}}} = {\ sqrt {\ begin {vmatrix} \ langle x \ cdot x \ rangle & \ langle x \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle \\ \ langle x ^ {\ prime} \ cdot x \ rangle & \ langle x ^ {\ prime} \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle \\\ end {vmatrix}}} {\ sqrt {\ begin {vmatrix} \ langle y \ cdot y \ rangle & \ langle y \ cdot y ^ {\ prime} \ rangle \\\ langle y ^ {\ prime} \ cdot y \ rangle & \ langle y ^ {\ prime} \ cdot y ^ {\ prime} \ rangle \\\ end {vmatrix}}} {\ sqrt {\ begin {vmatrix} \ langle z \ cdot z \ rangle & \ langle z \ cdot z ^ {\ prime} \ rangle \\\ langle z ^ {\ prime} \ cdot z \ rangle & \ langle z ^ {\ prime} \ cdot z ^ {\ prime} \ rangle \\\ end {vmatrix}}} = \ varepsilon _ {x} \ varepsilon _ {y} \ varepsilon _ {z}}$

Emitancia normalizada

Aunque las definiciones anteriores de emitancia permanecen constantes para el transporte de haz lineal, cambian cuando las partículas experimentan una aceleración (un efecto llamado amortiguamiento adiabático). En algunas aplicaciones, como para aceleradores lineales, fotoinyectores y las secciones de aceleración de sistemas más grandes, es importante comparar la calidad del haz a través de diferentes energías. Para este propósito definimos emitancia normalizada que es invariante bajo aceleración.

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {n} = {\ sqrt {\ langle x ^ {2} \ rangle \ langle p_ {x} ^ {2} \ rangle - \ langle x \ cdot p_ {x} \ rangle ^ {2 }}} = {\ sqrt {\ begin {vmatrix} \ langle x \ cdot x \ rangle & \ langle x \ cdot p_ {x} \ rangle \\\ langle x \ cdot p_ {x} \ rangle & \ langle p_ {x} \ cdot p_ {x} \ rangle \ end {vmatrix}}}}$

donde el ángulo ha sido reemplazado por un momento transversal que no depende del momento longitudinal. ${\ Displaystyle x ^ {\ prime} = {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} z}}}$ ${\ Displaystyle p_ {x}}$

La emitancia normalizada está relacionada con las definiciones anteriores de emitancia a través del factor de Lorentz ( ) y la velocidad relativista en la dirección del recorrido del haz ( ). ${\ Displaystyle \ gamma}$ ${\ Displaystyle \ beta _ {z}}$

${\ Displaystyle \ epsilon _ {n} = \ beta _ {z} \ gamma \ epsilon}$

La emitancia normalizada no cambia en función de la energía y, por lo tanto, puede rastrear la degradación del haz si las partículas se aceleran. Si β está cerca de uno, entonces la emitancia es aproximadamente inversamente proporcional a la energía y, por lo tanto, el ancho físico del haz variará inversamente a la raíz cuadrada de la energía.

Las versiones de mayor dimensión de la emitancia normalizada se pueden definir de forma análoga a la versión RMS reemplazando todos los ángulos con sus momentos correspondientes.

Emitancia de electrones frente a partículas pesadas

Para comprender por qué la emitancia RMS adquiere un valor particular en un anillo de almacenamiento, es necesario distinguir entre los anillos de almacenamiento de electrones y los anillos de almacenamiento con partículas más pesadas (como los protones). En un anillo de almacenamiento de electrones, la radiación es un efecto importante, mientras que cuando se almacenan otras partículas, normalmente es un efecto pequeño. Cuando la radiación es importante, las partículas experimentan amortiguación de radiación (que disminuye lentamente la emitancia vuelta tras vuelta) y excitación cuántica que provoca una difusión que conduce a una emitancia de equilibrio. Cuando no hay radiación, las emisiones permanecen constantes (aparte de los efectos de impedancia y la dispersión intrahaz). En este caso, la emitancia está determinada por la distribución de partículas inicial. En particular, si uno inyecta una emitancia "pequeña", permanece pequeña, mientras que si inyecta una emitancia "grande", permanece grande.

Aceptación

La aceptación , también llamada admitancia , es la máxima emitancia que un sistema de transporte de haz o un sistema de análisis es capaz de transmitir. Este es el tamaño de la cámara transformada en espacio de fase y no adolece de las ambigüedades de la definición de emitancia del haz.

Conservación de emitancia

Las lentes pueden enfocar un rayo, reduciendo su tamaño en una dimensión transversal mientras aumentan su extensión angular, pero no pueden cambiar la emitancia total. Este es el resultado del teorema de Liouville . Las formas de reducir la emitancia del haz incluyen amortiguación de radiación , enfriamiento estocástico y enfriamiento de electrones .

Emitancia y brillo

La emisión también está relacionada con el brillo del haz. En microscopía, el brillo se usa con mucha frecuencia, porque incluye la corriente en el haz y la mayoría de los sistemas son circularmente simétricos.

{\ Displaystyle B = {\ frac {{\ eta} I} {{\ epsilon _ {x}} {\ epsilon _ {y}}}}}

con ${\ Displaystyle \ eta = {\ frac {1} {8 \ pi ^ {2}}}}$

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