Masa agregada - Added mass

En la mecánica de fluidos , la masa agregada o masa virtual es la inercia agregada a un sistema porque un cuerpo que acelera o desacelera debe mover (o desviar) parte del volumen del fluido circundante a medida que se mueve a través de él. La masa agregada es un problema común porque el objeto y el fluido circundante no pueden ocupar el mismo espacio físico simultáneamente. Por simplicidad, esto se puede modelar como un volumen de fluido moviéndose con el objeto, aunque en realidad "todo" el fluido se acelerará, en varios grados.

El coeficiente de masa añadida adimensional es la masa añadida dividida por la masa de fluido desplazada, es decir, dividida por la densidad del fluido multiplicada por el volumen del cuerpo. En general, la masa agregada es un tensor de segundo orden , que relaciona el vector de aceleración del fluido con el vector de fuerza resultante en el cuerpo.

Fondo

Friedrich Bessel propuso el concepto de masa agregada en 1828 para describir el movimiento de un péndulo en un fluido. El período de dicho péndulo aumentó en relación con su período en el vacío (incluso después de tener en cuenta los efectos de flotabilidad ), lo que indica que el fluido circundante aumentó la masa efectiva del sistema.

El concepto de masa agregada es posiblemente el primer ejemplo de renormalización en física. El concepto también se puede considerar como un análogo de la física clásica del concepto de la mecánica cuántica de las cuasipartículas . Sin embargo, no debe confundirse con el aumento de masa relativista .

A menudo se afirma erróneamente que la masa añadida está determinada por el impulso del fluido. Que este no es el caso, queda claro cuando se considera el caso del fluido en una caja grande, donde la cantidad de movimiento del fluido es exactamente cero en todo momento. La masa agregada en realidad está determinada por el cuasi-momento: la masa agregada multiplicada por la aceleración del cuerpo es igual a la derivada del tiempo del cuasi-momento del fluido.

Fuerza de masa virtual

Las fuerzas inestables debidas a un cambio de la velocidad relativa de un cuerpo sumergido en un fluido se pueden dividir en dos partes: el efecto de masa virtual y la fuerza de Basset .

El origen de la fuerza es que el fluido ganará energía cinética a expensas del trabajo realizado por un cuerpo sumergido en aceleración.

Se puede demostrar que la fuerza de masa virtual, para una partícula esférica sumergida en un fluido incompresible no viscoso es

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}}} {2}} \ left ({\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {u}} {\ mathrm {D} t}} - {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} \ right),}

donde los símbolos en negrita denotan vectores, es la velocidad del flujo del fluido , es la velocidad de la partícula esférica, es la densidad de masa del fluido (fase continua), es el volumen de la partícula y D / D t denota la derivada del material . ${\ Displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ Displaystyle \ rho _ {\ mathrm {c}}}$ ${\ Displaystyle V _ {\ mathrm {p}}}$

El origen de la noción de "masa virtual" se hace evidente cuando echamos un vistazo a la ecuación del momento de la partícula.

{\ Displaystyle m _ {\ mathrm {p}} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum \ mathbf {F} + {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}}} {2}} \ left ({\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {u}} {\ mathrm {D} t}} - { \ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} \ right),}

donde es la suma de todos los demás términos de fuerza sobre la partícula, como gravedad , gradiente de presión , arrastre , sustentación , fuerza de Basset , etc. ${\ Displaystyle \ sum \ mathbf {F}}$

Moviendo la derivada de la velocidad de la partícula desde el lado derecho de la ecuación hacia la izquierda obtenemos

{\ Displaystyle \ left (m _ {\ mathrm {p}} + {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}}} {2}} \ right) {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum \ mathbf {F} + {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {c}} V _ {\ mathrm {p}} } {2}} {\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {u}} {\ mathrm {D} t}},}

por lo que la partícula se acelera como si tuviera una masa añadida de la mitad del fluido que desplaza, y también hay una contribución de fuerza adicional en el lado derecho debido a la aceleración del fluido.

Aplicaciones

La masa agregada se puede incorporar en la mayoría de las ecuaciones físicas considerando una masa efectiva como la suma de la masa y la masa agregada. Esta suma se conoce comúnmente como "masa virtual".

Una formulación simple de la masa agregada para un cuerpo esférico permite escribir la segunda ley clásica de Newton en la forma

{\ Displaystyle F = m \, a}

se convierte en

{\ Displaystyle F = (m + m _ {\ text {agregado}}) \, a.}

Se puede mostrar que la masa agregada para una esfera (de radio ) es , que es la mitad del volumen de la esfera multiplicada por la densidad del fluido. Para un cuerpo general, la masa agregada se convierte en un tensor (denominado tensor de masa inducida), con componentes que dependen de la dirección del movimiento del cuerpo. No todos los elementos en el tensor de masa agregado tendrán dimensión masa, algunos serán masa × longitud y algunos serán masa × longitud ² . ${\ Displaystyle r}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho _ {\ text {fluid}}}$

Todos los cuerpos que aceleran en un fluido se verán afectados por la masa añadida, pero dado que la masa añadida depende de la densidad del fluido, el efecto a menudo se descuida para los cuerpos densos que caen en fluidos mucho menos densos. Para situaciones en las que la densidad del fluido es comparable o mayor que la densidad del cuerpo, la masa agregada a menudo puede ser mayor que la masa del cuerpo y descuidarla puede introducir errores significativos en un cálculo.

Por ejemplo, una burbuja de aire esférica que se eleva en el agua tiene una masa de pero una masa añadida de Dado que el agua es aproximadamente 800 veces más densa que el aire (en RTP ), la masa añadida en este caso es aproximadamente 400 veces la masa de la burbuja. ${\ Displaystyle {\ tfrac {4} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho _ {\ text {air}}}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho _ {\ text {agua}}.}$

Arquitectura naval

Estos principios también se aplican a barcos, submarinos y plataformas marinas. En la industria marina, la masa añadida se denomina masa añadida hidrodinámica. En el diseño de barcos, la energía necesaria para acelerar la masa añadida debe tenerse en cuenta al realizar un análisis de mantenimiento del mar. En el caso de los barcos, la masa añadida puede alcanzar fácilmente ¼ o ⅓ de la masa del barco y, por lo tanto, representa una inercia significativa , además de las fuerzas de arrastre de fricción y de formación de olas .

Para ciertas geometrías que se hunden libremente a través de una columna de agua, la masa hidrodinámica agregada asociada con el cuerpo que se hunde puede ser mucho mayor que la masa del objeto. Esta situación puede ocurrir, por ejemplo, cuando el cuerpo que se hunde tiene una gran superficie plana con su vector normal apuntando en la dirección del movimiento (hacia abajo). Se libera una cantidad sustancial de energía cinética cuando dicho objeto se desacelera abruptamente (por ejemplo, debido a un impacto con el lecho marino).

En la industria de alta mar, la masa hidrodinámica añadida de diferentes geometrías es objeto de una investigación considerable. Por lo general, estos estudios se requieren como entrada para las evaluaciones de riesgo de objetos caídos submarinos (estudios centrados en cuantificar el riesgo de impactos de objetos caídos en la infraestructura submarina). Dado que la masa hidrodinámica agregada puede constituir una proporción significativa de la masa total de un objeto que se hunde en el momento del impacto, influye significativamente en la resistencia de diseño considerada para las estructuras de protección submarinas.

La proximidad a un límite (u otro objeto) puede influir en la cantidad de masa hidrodinámica agregada. Esto significa que la masa agregada depende tanto de la geometría del objeto como de su proximidad a un límite. Para cuerpos flotantes (por ejemplo, barcos / embarcaciones), esto significa que la respuesta del cuerpo flotante (es decir, debido a la acción de las olas) se altera en profundidades de agua finitas (el efecto es prácticamente inexistente en aguas profundas). La profundidad específica (o proximidad a un límite) a la que se ve afectada la masa hidrodinámica agregada depende de la geometría del cuerpo y la ubicación y forma de un límite (p. Ej., Un muelle, un malecón, un mamparo o el lecho marino).

La masa hidrodinámica agregada asociada con un objeto que se hunde libremente cerca de un límite es similar a la de un cuerpo flotante. En general, la masa agregada hidrodinámica aumenta a medida que disminuye la distancia entre un límite y un cuerpo. Esta característica es importante al planificar instalaciones submarinas o predecir el movimiento de un cuerpo flotante en condiciones de aguas poco profundas.

Aeronáutica

En los aviones (que no sean globos y dirigibles más ligeros que el aire), la masa añadida no se suele tener en cuenta porque la densidad del aire es muy pequeña.

Ver también

Fuerza de basset para describir el efecto del historial de movimiento relativo del cuerpo sobre las fuerzas viscosas en un flujo de Stokes
Ecuación de Basset-Boussinesq-Oseen para la descripción del movimiento y las fuerzas de una partícula que se mueve en un flujo inestable con números de Reynolds bajos
Deriva de Darwin para la relación entre la masa agregada y el volumen de la deriva de Darwin
Número de Keulegan-Carpenter para un parámetro adimensional que da la importancia relativa de la fuerza de arrastre a la inercia en la carga de las olas.
Ecuación de Morison para un modelo de fuerza empírico en carga de olas, que implica masa y arrastre adicionales
Operador de amplitud de respuesta para el uso de masa adicional en el diseño de barcos

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