Segmento circular - Circular segment

En geometría , un segmento circular (símbolo: ⌓ ) es una región de un círculo que está "cortada" del resto del círculo por una secante o una cuerda . Más formalmente, un segmento circular es una región de espacio bidimensional que está delimitada por un arco (de menos de π radianes por convención) de un círculo y por la cuerda que conecta los puntos finales del arco.

Fórmulas

Un segmento circular (en verde) está encerrado entre una secante / cuerda (la línea discontinua) y el arco cuyos extremos son iguales a los de la cuerda (el arco que se muestra sobre el área verde).

Sea R el radio del arco que forma parte del perímetro del segmento, θ el ángulo central que subtiende el arco en radianes , c la longitud de la cuerda , s la longitud del arco , h la sagitta ( altura ) del segmento y a el área del segmento.

Por lo general, la longitud y la altura de la cuerda se dan o miden y, a veces, la longitud del arco como parte del perímetro, y las incógnitas son el área y, a veces, la longitud del arco. Estos no se pueden calcular simplemente a partir de la longitud y la altura de la cuerda, por lo que generalmente se calculan primero dos cantidades intermedias, el radio y el ángulo central.

Radio y ángulo central

El radio es:

${\ Displaystyle R = {\ tfrac {h} {2}} + {\ tfrac {c ^ {2}} {8h}}}$

El ángulo central es

${\ Displaystyle \ theta = 2 \ arcsin {\ tfrac {c} {2R}}}$

Longitud y altura de la cuerda

La longitud y la altura de la cuerda se pueden calcular a partir del radio y el ángulo central mediante:

La longitud de la cuerda es

${\ Displaystyle c = 2R \ sin {\ tfrac {\ theta} {2}} = R {\ sqrt {2 (1- \ cos \ theta)}}}$

El sagitta es

${\ Displaystyle h = R (1- \ cos {\ tfrac {\ theta} {2}}) = R \ left (1 - {\ sqrt {\ tfrac {1+ \ cos \ theta} {2}}} \ Derecha)}$

Longitud y área del arco

La longitud del arco, de la geometría familiar de un círculo, es

${\ Displaystyle s = {\ theta} R}$

El área a del segmento circular es igual al área del sector circular menos el área de la porción triangular (usando la fórmula del ángulo doble para obtener una ecuación en términos de Θ):

${\ Displaystyle a = {\ tfrac {R ^ {2}} {2}} \ left (\ theta - \ sin \ theta \ right)}$

En términos de R y h,

${\ Displaystyle a = R ^ {2} \ arccos \ left (1 - {\ frac {h} {R}} \ right) - \ left (Rh \ right) {\ sqrt {R ^ {2} - \ left (Rh \ right) ^ {2}}}}$

Desafortunadamente, es una función trascendental de y, por lo tanto, no se puede establecer una fórmula algebraica en términos de estos. Pero lo que se puede afirmar es que a medida que el ángulo central se hace más pequeño (o, alternativamente, el radio se hace más grande), el área de un aproxima rápidamente y asintóticamente . Si es una aproximación sustancialmente buena. ${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle {\ tfrac {2} {3}} c \ cdot h}$${\ Displaystyle \ theta << 1, a = {\ tfrac {2} {3}} c \ cdot h}$

A medida que el ángulo central se acerca a π, el área del segmento converge al área de un semicírculo , por lo que una buena aproximación es un desplazamiento delta de la última área: ${\ Displaystyle {\ tfrac {\ pi R ^ {2}} {2}}}$

${\ Displaystyle a \ approx {\ tfrac {\ pi R ^ {2}} {2}} - (R + {\ tfrac {c} {2}}) (Rh)}$para h> .75 R

Etc.

El perímetro p es la longitud del arco más la longitud de la cuerda,

${\ Displaystyle p = c + s = c + \ theta R}$

Como proporción de toda el área del disco, tiene ${\ Displaystyle A = \ pi R ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ frac {a} {A}} = {\ frac {\ theta - \ sin \ theta} {2 \ pi}}}$

Aplicaciones

La fórmula del área se puede utilizar para calcular el volumen de un tanque cilíndrico parcialmente lleno colocado horizontalmente.

En el diseño de ventanas o puertas con las tapas redondeadas, c y h pueden ser los valores sólo se conoce y se puede utilizar para calcular R para el ajuste de la brújula del dibujante.

Se pueden reconstruir las dimensiones completas de un objeto circular completo a partir de fragmentos midiendo la longitud del arco y la longitud de la cuerda del fragmento.

Para comprobar las posiciones de los agujeros en un patrón circular. Especialmente útil para el control de calidad de productos mecanizados.

Para calcular el área o centroide de una forma plana que contiene segmentos circulares.

Ver también

• Acorde (geometría)
• Casquete esférico
• Sector circular

Referencias

• Weisstein, Eric W. "Segmento circular" . MathWorld .

enlaces externos

• Definición de un segmento circular con animación interactiva
• Fórmulas para el área de un segmento circular Con animación interactiva