Serie Wiener - Wiener series

En matemáticas, la serie de Wiener , o expansión funcional G de Wiener , se origina en el libro de 1958 de Norbert Wiener . Es una expansión ortogonal para funcionales no lineales estrechamente relacionados con la serie de Volterra y que tiene la misma relación con ella que una expansión polinomial ortogonal de Hermite con una serie de potencias . Por esta razón también se la conoce como la expansión Wiener-Hermite . Los análogos de los coeficientes se conocen como núcleos de Wiener . Los términos de la serie son ortogonales (no correlacionados) con respecto a una entrada estadística de ruido blanco . Esta propiedad permite identificar los términos en aplicaciones mediante el método Lee – Schetzen .

La serie Wiener es importante en la identificación de sistemas no lineales . En este contexto, la serie aproxima la relación funcional de la salida con el historial completo de la entrada del sistema en cualquier momento. La serie de Wiener se ha aplicado principalmente a la identificación de sistemas biológicos, especialmente en neurociencia .

El nombre de la serie de Wiener se utiliza casi exclusivamente en la teoría de sistemas . En la literatura matemática ocurre como la expansión de Itô (1951) que tiene una forma diferente pero es enteramente equivalente a ella.

La serie Wiener no debe confundirse con el filtro Wiener , que es otro algoritmo desarrollado por Norbert Wiener utilizado en el procesamiento de señales.

Expresiones funcionales de Wiener G

Dado un sistema con un par de entrada / salida donde la entrada es ruido blanco con valor medio cero y potencia A, podemos escribir la salida del sistema como la suma de una serie de funciones G de Wiener ${\ Displaystyle (x (t), y (t))}$${\ Displaystyle y (n) = \ sum _ {p} (G_ {p} x) (n)}$

A continuación se darán las expresiones de las G-funcionales hasta el quinto orden:

${\ Displaystyle (G_ {0} x) (n) = k_ {0} = E \ left \ {y (n) \ right \};}$

${\ Displaystyle (G_ {1} x) (n) = \ sum _ {\ tau _ {1} = 0} ^ {N_ {1} -1} k_ {1} (\ tau _ {1}) x ( n- \ tau _ {1});}$

${\ Displaystyle (G_ {2} x) (n) = \ sum _ {\ tau _ {1}, \ tau _ {2} = 0} ^ {N_ {2} -1} k_ {2} (\ tau _ {1}, \ tau _ {2}) x (n- \ tau _ {1}) x (n- \ tau _ {2}) - A \ sum _ {\ tau _ {1} = 0} ^ {N_ {2} -1} k_ {2} (\ tau _ {1}, \ tau _ {1});}$

${\ Displaystyle (G_ {3} x) (n) = \ sum _ {\ tau _ {1}, \ ldots, \ tau _ {3} = 0} ^ {N_ {3} -1} k_ {3} (\ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ tau _ {3}) x (n- \ tau _ {1}) x (n- \ tau _ {2}) x (n- \ tau _ {3}) - 3A \ sum _ {\ tau _ {1} = 0} ^ {N_ {3} -1} \ sum _ {\ tau _ {2} = 0} ^ {N_ {3} -1 } k_ {3} (\ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ tau _ {2}) x (n- \ tau _ {1});}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} (G_ {4} x) (n) = {} & \ sum _ {\ tau _ {1}, \ ldots, \ tau _ {4} = 0} ^ {N_ { 4} -1} k_ {4} (\ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ tau _ {3}, \ tau _ {4}) x (n- \ tau _ {1}) x (n- \ tau _ {2}) x (n- \ tau _ {3}) x (n- \ tau _ {4}) + {} \\ [6pt] & {} - 6A \ sum _ {\ tau _ {1}, \ tau _ {2} = 0} ^ {N_ {4} -1} \ sum _ {\ tau _ {3} = 0} ^ {N_ {4} -1} k_ {4} (\ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ tau _ {3}, \ tau _ {3}) x (n- \ tau _ {1}) x (n- \ tau _ {2} ) + 3A ^ {2} \ sum _ {\ tau _ {1}, \ tau _ {2} = 0} ^ {N_ {4} -1} k_ {4} (\ tau _ {1}, \ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ tau _ {2}); \ end {alineado}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} (G_ {5} x) (n) = {} & \ sum _ {\ tau _ {1}, \ ldots, \ tau _ {5} = 0} ^ {N_ { 5} -1} k_ {5} (\ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ tau _ {3}, \ tau _ {4}, \ tau _ {5}) x (n- \ tau _ {1}) x (n- \ tau _ {2}) x (n- \ tau _ {3}) x (n- \ tau _ {4}) x (n- \ tau _ {5}) + {} \\ [6pt] & {} - 10A \ sum _ {\ tau _ {1}, \ ldots, \ tau _ {3} = 0} ^ {N_ {5} -1} \ sum _ {\ tau _ {4} = 0} ^ {N_ {5} -1} k_ {5} (\ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ tau _ {3}, \ tau _ {4}, \ tau _ {4}) x (n- \ tau _ {1}) x (n- \ tau _ {2}) x (n- \ tau _ {3}) \\ [6pt] & {} + 15A ^ {2} \ sum _ {\ tau _ {1} = 0} ^ {N_ {5} -1} \ sum _ {\ tau _ {2}, \ tau _ {3} = 0} ^ {N_ { 5} -1} k_ {5} (\ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ tau _ {2}, \ tau _ {3}, \ tau _ {3}) x (n- \ tau _ {1}). \ end {alineado}}}$

Ver también

• Serie Volterra
• Identificación del sistema
• Promedio disparado por picos

Referencias

• Wiener, Norbert (1958). Problemas no lineales en teoría aleatoria . Wiley y MIT Press.
• Lee y Schetzen; Schetzen ‡, M. (1965). "Medición de los núcleos de Wiener de un sistema no lineal por correlación cruzada". Revista Internacional de Control . Primero. 2 (3): 237-254. doi : 10.1080 / 00207176508905543 .
• Itô K "Una integral de Wiener múltiple" J. Math. Soc. Japón 3 1951157–169
• Marmarelis, PZ; Naka, K. (1972). "Análisis de ruido blanco de una cadena de neuronas: una aplicación de la teoría de Wiener". Ciencia . 175 (4027): 1276-1278. doi : 10.1126 / science.175.4027.1276 . PMID  5061252 .
• Schetzen, Martin (1980). Las teorías de Volterra y Wiener de los sistemas no lineales . John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-04455-0.
• Marmarelis, PZ (1991). "Análisis de Wiener de retroalimentación no lineal". Sistemas sensoriales Annals of Biomedical Engineering . 19 (4): 345–382. doi : 10.1007 / BF02584316 .
• Franz, M; Schölkopf, B. (2006). "Una visión unificadora de la teoría de Wiener y Volterra y la regresión del núcleo polinomial". Computación neuronal . 18 (12): 3097–3118. doi : 10.1162 / neco.2006.18.12.3097 .
• LA Zadeh Sobre la representación de operadores no lineales. IRE Westcon Conv. Registro pt.2 1957105-113.