Ley de desplazamiento de Wien - Wien's displacement law

Radiación de cuerpo negro en función de la longitud de onda para diversas temperaturas. Cada curva de temperatura alcanza un pico en una longitud de onda diferente y la ley de Wien describe el cambio de ese pico.

La ley de desplazamiento de Wien establece que la curva de radiación del cuerpo negro para diferentes temperaturas alcanzará un pico en diferentes longitudes de onda que son inversamente proporcionales a la temperatura. El cambio de ese pico es una consecuencia directa de la ley de radiación de Planck , que describe el brillo espectral de la radiación del cuerpo negro en función de la longitud de onda a cualquier temperatura dada. Sin embargo, Wilhelm Wien lo había descubierto varios años antes de que Max Planck desarrollara esa ecuación más general y describe el cambio completo del espectro de radiación del cuerpo negro hacia longitudes de onda más cortas a medida que aumenta la temperatura.

Formalmente, la ley de desplazamiento de Wien establece que el resplandor espectral de la radiación de cuerpo negro por unidad de longitud de onda alcanza su pico en la longitud de onda λ pico dado por:

donde T es la temperatura absoluta. b es una constante de proporcionalidad llamada constante de desplazamiento de Wien , igual a2.897 771 955 ... × 10 −3  m⋅K , o b ≈ 2898 μm⋅K . Esta es una relación inversa entre la longitud de onda y la temperatura. Por tanto, cuanto más alta es la temperatura, más corta o más pequeña es la longitud de onda de la radiación térmica. Cuanto menor sea la temperatura, mayor será la longitud de onda de la radiación térmica. Para la radiación visible, los objetos calientes emiten una luz más azul que los objetos fríos. Si uno está considerando el pico de emisión de cuerpo negro por unidad de frecuencia o por ancho de banda proporcional, debe usar una constante de proporcionalidad diferente. Sin embargo, la forma de la ley sigue siendo la misma: la longitud de onda máxima es inversamente proporcional a la temperatura y la frecuencia máxima es directamente proporcional a la temperatura.

La ley de desplazamiento de Wien puede denominarse "ley de Wien", un término que también se utiliza para la aproximación de Wien .

Ejemplos de

La ley de desplazamiento de Wien es relevante para algunas experiencias cotidianas:

  • Una pieza de metal calentada por un soplete primero se vuelve "al rojo vivo" cuando las longitudes de onda visibles más largas aparecen rojas, luego se vuelve más rojo anaranjado a medida que aumenta la temperatura, y a temperaturas muy altas se describiría como "blanco caliente" como longitudes de onda cada vez más cortas predominan en el espectro de emisión del cuerpo negro. Antes incluso de alcanzar la temperatura al rojo vivo, la emisión térmica se producía principalmente en longitudes de onda infrarrojas más largas, que no son visibles; sin embargo, esa radiación se puede sentir a medida que calienta la piel cercana.
  • Se pueden observar fácilmente cambios en el color de una bombilla incandescente (que produce luz a través de la radiación térmica) a medida que la temperatura de su filamento varía con un atenuador de luz . A medida que la luz se atenúa y la temperatura del filamento disminuye, la distribución del color se desplaza hacia longitudes de onda más largas y la luz parece más roja y más tenue.
  • Un fuego de leña a 1500 K emite un pico de radiación a unos 2000 nm. El 98% de su radiación se encuentra en longitudes de onda superiores a 1000 nm, y solo una pequeña proporción en longitudes de onda visibles (390-700 nm). En consecuencia, una fogata puede mantener a uno caliente, pero es una mala fuente de luz visible.
  • La temperatura efectiva del Sol es 5778 K. Usando la ley de Wien, se encuentra un pico de emisión por nanómetro (de longitud de onda) a una longitud de onda de aproximadamente 500 nm, en la porción verde del espectro cerca del pico de sensibilidad del ojo humano. Por otro lado, en términos de potencia por unidad de frecuencia óptica, la emisión máxima del Sol es de 343 THz o una longitud de onda de 883 nm en el infrarrojo cercano. En términos de potencia por porcentaje de ancho de banda, el pico es de aproximadamente 635 nm, una longitud de onda roja. Independientemente de cómo se quiera trazar el espectro, aproximadamente la mitad de la radiación solar se encuentra en longitudes de onda inferiores a 710 nm, aproximadamente el límite de la visión humana. De eso, aproximadamente el 12% se encuentra en longitudes de onda inferiores a 400 nm, longitudes de onda ultravioleta, que es invisible para un ojo humano sin ayuda. Se puede apreciar que una cantidad bastante grande de radiación solar cae en el espectro visible bastante pequeño .
El color de una estrella está determinado por su temperatura, según la ley de Wien. En la constelación de Orión , uno puede comparar Betelgeuse ( T  ≈ 3300 K, arriba a la izquierda), Rigel ( T  = 12100 K, abajo a la derecha), Bellatrix ( T  = 22000 K, arriba a la derecha) y Mintaka ( T  = 31800 K, más a la derecha de las 3 "estrellas del cinturón" en el medio).
  • Sin embargo, la preponderancia de las emisiones en el rango visible no es el caso en la mayoría de las estrellas . La supergigante caliente Rigel emite el 60% de su luz en el ultravioleta, mientras que la fría supergigante Betelgeuse emite el 85% de su luz en las longitudes de onda del infrarrojo. Con ambas estrellas prominentes en la constelación de Orión , se puede apreciar fácilmente la diferencia de color entre la Rigel azul-blanca ( T  = 12100 K) y la Betelgeuse roja ( T  ≈ 3300 K). Si bien pocas estrellas son tan calientes como Rigel, las estrellas más frías que el sol o incluso tan frías como Betelgeuse son muy comunes.
  • Los mamíferos con una temperatura de la piel de aproximadamente 300 K emiten un pico de radiación de alrededor de 10 μm en el infrarrojo lejano. Por tanto, este es el rango de longitudes de onda infrarrojas que pit viper serpientes y cámaras de infrarrojos pasivos debe detectar.
  • Al comparar el color aparente de las fuentes de iluminación (incluidas las luces fluorescentes , la iluminación LED , los monitores de computadora y el flash fotográfico ), se acostumbra citar la temperatura del color . Aunque los espectros de tales luces no se describen con precisión mediante la curva de radiación de cuerpo negro, se cita una temperatura de color para la cual la radiación de cuerpo negro coincidiría más estrechamente con el color subjetivo de esa fuente. Por ejemplo, la luz fluorescente azul-blanca que se usa a veces en una oficina puede tener una temperatura de color de 6500 K, mientras que el tinte rojizo de una luz incandescente atenuada puede tener una temperatura de color (y una temperatura real del filamento) de 2000 K. Tenga en cuenta que la descripción informal del primer color (azulado) como "frío" y del segundo (rojizo) como "cálido" es exactamente opuesta al cambio de temperatura real involucrado en la radiación del cuerpo negro.

Descubrimiento

La ley lleva el nombre de Wilhelm Wien , quien la derivó en 1893 basándose en un argumento termodinámico. Wien consideró la expansión adiabática de una cavidad que contiene ondas de luz en equilibrio térmico. Mostró que, bajo una expansión o contracción lenta, la energía de la luz que se refleja en las paredes cambia exactamente de la misma manera que la frecuencia. Un principio general de la termodinámica es que un estado de equilibrio térmico, cuando se expande muy lentamente, permanece en equilibrio térmico.

El propio Wien dedujo teóricamente esta ley en 1893, siguiendo el razonamiento termodinámico de Boltzmann. Anteriormente había sido observado, al menos semicuantitativamente, por un astrónomo estadounidense, Langley. Este cambio ascendente en νmáx con T es familiar para todos: cuando una plancha se calienta en el fuego, la primera radiación visible (alrededor de 900 K) es de color rojo oscuro, la luz visible de frecuencia más baja. Un aumento adicional de T hace que el color cambie a naranja, luego amarillo y finalmente azul a temperaturas muy altas (10,000 K o más) para las cuales el pico en la intensidad de la radiación se ha movido más allá de lo visible hacia el ultravioleta.


El principio adiabático permitió a Wien concluir que para cada modo, la energía / frecuencia invariante adiabática es solo una función de la otra invariante adiabática, la frecuencia / temperatura. Se puede encontrar una variante moderna de la derivación de Wien en el libro de texto de Wannier y en un artículo de E. Buckingham.


La consecuencia es que la forma de la función de radiación del cuerpo negro (que aún no se entendía) cambiaría proporcionalmente en frecuencia (o inversamente proporcionalmente en longitud de onda) con la temperatura. Cuando Max Planck formuló más tarde la función correcta de radiación de cuerpo negro , no incluyó explícitamente la constante b de Wien . Más bien, la constante h de Planck se creó e introdujo en su nueva fórmula. A partir de la constante h de Planck y la constante k de Boltzmann , se puede obtener la constante b de Wien .

Formulación dependiente de la frecuencia

Para el flujo espectral considerado por frecuencia unitaria (en hercios ), la ley de desplazamiento de Wien describe un pico de emisión a la frecuencia óptica dada por:

o equivalente

donde α2.821 439 372 122 078 893 ... es una constante resultante de la ecuación de maximización, k es la constante de Boltzmann , h es la constante de Planck y T es la temperatura (en kelvin ). Con la emisión ahora considerada por unidad de frecuencia, este pico ahora corresponde a una longitud de onda un 70% más larga que el pico considerado por unidad de longitud de onda. Las matemáticas relevantes se detallan en la siguiente sección.

Derivación de la ley de Planck

La ley de Planck para el espectro de la radiación del cuerpo negro predice la ley de desplazamiento de Wien y puede usarse para evaluar numéricamente la temperatura relativa constante y el valor del parámetro pico para cualquier parametrización particular. Comúnmente se utiliza una parametrización de longitud de onda y, en ese caso, el resplandor espectral del cuerpo negro (potencia por área de emisión por ángulo sólido) es:

Diferenciar u (λ, T ) con respecto a λ y establecer la derivada igual a cero da:

que se puede simplificar para dar:

Definiendo:

la ecuación se convierte en una en la única variable x :

que es equivalente a:

Esta ecuación se resuelve numéricamente fácilmente utilizando el método de Newton, lo que produce x =4.965 114 231 744 276 303 ... para doble precisión de punto flotante de precisión. Resolviendo la longitud de onda λ en milimetros, y usando kelvins para la temperatura, se obtiene:

λ pico = hc / xkT = (2.897 771 955 185 172 661 ... mm K) / T.

Parametrización por frecuencia

Otra parametrización común es la frecuencia . La derivación que produce el valor máximo del parámetro es similar, pero comienza con la forma de la ley de Planck en función de la frecuencia ν:

El proceso anterior que usa esta ecuación produce:

El resultado neto es:

Esto se resuelve de manera similar con el método de Newton que produce x =2.821 439 372 122 078 893 ... para doble precisión de precisión de punto flotante. Se puede obtener una solución analítica con la función W de Lambert

Resolver para ν produce:

ν pico = xkT / h = (0,058 789 257 576 468 249 46 ... THz K −1 ) · T.

Los máximos difieren según la parametrización

Observe que para una temperatura dada, la parametrización por frecuencia implica una longitud de onda máxima diferente a la parametrización por longitud de onda.

Por ejemplo, utilizando T = 6000 K y parametrización por longitud de onda, la longitud de onda para la radiancia espectral máxima es λ = 482,962 nm con la frecuencia correspondiente ν = 620,737 THz . Para la misma temperatura, pero parametrizando por frecuencia, la frecuencia de radiancia espectral máxima es ν = 352,735 THz con la longitud de onda correspondiente λ = 849,907 nm .

Estas funciones son funciones de densidad de radiancia , que son funciones de densidad de probabilidad escaladas para dar unidades de radiancia. La función de densidad tiene diferentes formas para diferentes parametrizaciones, dependiendo del estiramiento relativo o la compresión de la abscisa, que mide el cambio en la densidad de probabilidad en relación con un cambio lineal en un parámetro dado. Dado que la longitud de onda y la frecuencia tienen una relación recíproca, representan cambios significativamente no lineales en la densidad de probabilidad entre sí.

La radiancia total es la integral de la distribución sobre todos los valores positivos, y es invariante para una temperatura dada bajo cualquier parametrización. Además, para una temperatura dada, la radiación que consiste en todos los fotones entre dos longitudes de onda debe ser la misma independientemente de la distribución que utilice. Es decir, integrar la distribución de longitud de onda de λ 1 a λ 2 dará como resultado el mismo valor que integrar la distribución de frecuencia entre las dos frecuencias que corresponden a λ 1 y λ 2 , es decir, de c / λ 2 a c / λ 1 . Sin embargo, la forma de la distribución depende de la parametrización, y para una parametrización diferente, la distribución normalmente tendrá una densidad de pico diferente, como demuestran estos cálculos.

El uso del valor 4 para resolver la ecuación implícita produce el pico en la función de densidad de radiancia espectral expresada en el parámetro radiancia por ancho de banda proporcional . Esta es quizás una forma más intuitiva de presentar la "longitud de onda del pico de emisión". Eso produce x =3.920 690 394 872 886 343 ... para doble precisión de punto flotante de precisión.

Sin embargo, el punto importante de la ley de Wien es que cualquier marcador de longitud de onda de este tipo, incluida la longitud de onda media (o, alternativamente, la longitud de onda por debajo de la cual ocurre cualquier porcentaje especificado de la emisión) es proporcional al recíproco de la temperatura. Es decir, la forma de la distribución para una parametrización dada se escala y se traduce de acuerdo con la temperatura, y se puede calcular una vez para una temperatura canónica, luego desplazarse y escalar apropiadamente para obtener la distribución para otra temperatura. Esta es una consecuencia de la fuerte afirmación de la ley de Wien.

Ver también

Notas

Referencias

Otras lecturas

enlaces externos