Número de onda - Wavenumber

Diagrama que ilustra la relación entre el número de onda y las otras propiedades de las ondas armónicas.

En las ciencias físicas , el número de onda (también número de onda o repetición ) es la frecuencia espacial de una onda , medida en ciclos por unidad de distancia o radianes por unidad de distancia. Mientras que la frecuencia temporal se puede considerar como el número de ondas por unidad de tiempo, el número de onda es el número de ondas por unidad de distancia.

En sistemas multidimensionales , el número de onda es la magnitud del vector de onda . El espacio de los vectores de onda se llama espacio recíproco . Números de onda y de onda vectores juegan un papel esencial en la óptica y la física de la dispersión de la onda, tales como difracción de rayos X , difracción de neutrones , difracción de electrones y de partículas elementales física. Para las ondas de la mecánica cuántica , el número de onda multiplicado por la constante de Planck reducida es el momento canónico .

El número de onda se puede utilizar para especificar cantidades distintas a la frecuencia espacial. En espectroscopía óptica , a menudo se usa como una unidad de frecuencia temporal asumiendo una cierta velocidad de la luz .

Definición

El número de onda, como se usa en espectroscopia y en la mayoría de los campos de la química, se define como el número de longitudes de onda por unidad de distancia, típicamente centímetros (cm ⁻¹ ):

${\ Displaystyle {\ tilde {\ nu}} \; = \; {\ frac {1} {\ lambda}},}$

donde λ es la longitud de onda. A veces se le llama "número de onda espectroscópico". Es igual a la frecuencia espacial . Un número de onda en cm inverso se puede convertir a una frecuencia en GHz multiplicando por 29,9792458 (la velocidad de la luz en centímetros por nanosegundo). Una onda electromagnética a 29,9792458 GHz tiene una longitud de onda de 1 cm en el espacio libre.

En física teórica, un número de onda definido como el número de radianes por unidad de distancia, a veces llamado "número de onda angular", se usa con más frecuencia:

${\ Displaystyle k \; = \; {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}$

Cuando el número de onda está representado por el símbolo ν , se sigue representando una frecuencia , aunque de forma indirecta. Como se describe en la sección de espectroscopia, esto se hace a través de la relación , donde ν _s es una frecuencia en hercios . Esto se hace por conveniencia ya que las frecuencias tienden a ser muy grandes. ${\ textstyle {\ frac {\ nu _ {s}} {c}} \; = \; {\ frac {1} {\ lambda}} \; \ equiv \; {\ tilde {\ nu}}}$

El número de onda tiene dimensiones de longitud recíproca , por lo que su unidad SI es la recíproca de metros (m ⁻¹ ). En espectroscopia es habitual dar números de onda en unidades cgs (es decir, centímetros recíprocos; cm ^-1 ); en este contexto, el número de onda se llamaba anteriormente kayser , en honor a Heinrich Kayser (algunos artículos científicos más antiguos usaban esta unidad, abreviada como K , donde 1  K = 1  cm ⁻¹ ). El número de onda angular puede expresarse en radianes por metro (rad⋅m ⁻¹ ), o como se indicó anteriormente, ya que el radianes no tiene dimensiones .

Para la radiación electromagnética en el vacío, el número de onda es directamente proporcional a la frecuencia y a la energía de los fotones . Debido a esto, los números de onda se utilizan como una unidad de energía conveniente en espectroscopía.

Complejo

Se puede definir un número de onda de valor complejo para un medio con permitividad relativa, permeabilidad relativa e índice de refracción n de valor complejo como: ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {r}}$ ${\ Displaystyle \ mu _ {r}}$

${\ Displaystyle k = k_ {0} {\ sqrt {\ varepsilon _ {r} \ mu _ {r}}} = k_ {0} n}$

donde k ₀ es el número de onda del espacio libre, como arriba. La parte imaginaria del número de onda expresa atenuación por unidad de distancia y es útil en el estudio de campos evanescentes que decaen exponencialmente .

Ondas planas en medios lineales

El factor de propagación de una onda plana sinusoidal que se propaga en la dirección x en un material lineal viene dado por

${\ Displaystyle P = e ^ {- jkx}}$

dónde

${\ Displaystyle k = k'-jk '' = {\ sqrt {- \ left (\ omega \ mu '' + j \ omega \ mu '\ right) \ left (\ sigma + \ omega \ varepsilon' '+ j \ omega \ varepsilon '\ right)}} \;}$

${\ displaystyle k '=}$ constante de fase en las unidades de radianes / metro

${\ Displaystyle k '' =}$ constante de atenuación en las unidades de nepers / metro

${\ Displaystyle \ omega =}$ frecuencia en las unidades de radianes / metro

${\ Displaystyle x =}$ distancia recorrida en la dirección x

${\ Displaystyle \ sigma =}$ conductividad en Siemens / metro

${\ Displaystyle \ varepsilon = \ varepsilon '-j \ varepsilon' '=}$ permitividad compleja

${\ Displaystyle \ mu = \ mu '-j \ mu' '=}$ permeabilidad compleja

${\ Displaystyle j = {\ sqrt {-1}}}$

La convención de signos se elige por coherencia con la propagación en medios con pérdida. Si la constante de atenuación es positiva, entonces la amplitud de la onda disminuye a medida que la onda se propaga en la dirección x.

La longitud de onda , la velocidad de fase y la profundidad de la piel tienen relaciones simples con los componentes del número de onda:

${\ Displaystyle \ lambda = {\ frac {2 \ pi} {k '}} \ qquad v_ {p} = {\ frac {\ omega} {k'}} \ qquad \ delta = {\ frac {1} { k ''}}}$

En ecuaciones de onda

Aquí asumimos que la onda es regular en el sentido de que las diferentes cantidades que describen la onda, como la longitud de onda, la frecuencia y, por tanto, el número de onda, son constantes. Vea wavepacket para una discusión del caso cuando estas cantidades no son constantes.

En general, el número de onda angular k (es decir, la magnitud del vector de onda ) viene dado por

${\ Displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} = {\ frac {2 \ pi \ nu} {v _ {\ mathrm {p}}}} = {\ frac {\ omega} {v_ {\ mathrm {p}}}}}$

donde ν es la frecuencia de la onda, λ es la longitud de onda, ω = 2 πν es la frecuencia angular de la onda y v _p es la velocidad de fase de la onda. La dependencia del número de onda de la frecuencia (o más comúnmente la frecuencia del número de onda) se conoce como relación de dispersión .

Para el caso especial de una onda electromagnética en el vacío, en el que la onda se propaga a la velocidad de la luz, k viene dado por:

${\ Displaystyle k = {\ frac {E} {\ hbar c}}}$

donde E es la energía de la onda, ħ es la constante de Planck reducida y c es la velocidad de la luz en el vacío.

Para el caso especial de una onda de materia , por ejemplo una onda de electrones, en la aproximación no relativista (en el caso de una partícula libre, es decir, la partícula no tiene energía potencial):

${\ Displaystyle k \ equiv {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} = {\ frac {p} {\ hbar}} = {\ frac {\ sqrt {2mE}} {\ hbar}}}$

Aquí p es el momento de la partícula, m es la masa de la partícula, E es la energía cinética de la partícula y ħ es la constante de Planck reducida .

El número de onda también se usa para definir la velocidad del grupo .

En espectroscopia

En espectroscopía , "número de onda" se refiere a una frecuencia que se ha dividido por la velocidad de la luz en el vacío, generalmente en centímetros por segundo (cm.s ⁻¹ ):: ${\ Displaystyle {\ tilde {\ nu}}}$

${\ Displaystyle {\ tilde {\ nu}} = {\ frac {\ nu} {c}} = {\ frac {\ omega} {2 \ pi c}}.}$

La razón histórica para usar este número de onda espectroscópico en lugar de frecuencia es que es una unidad conveniente cuando se estudian espectros atómicos contando franjas por cm con un interferómetro  : el número de onda espectroscópico es el recíproco de la longitud de onda de la luz en el vacío:

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ rm {vac}} = {\ frac {1} {\ tilde {\ nu}}},}$

que permanece esencialmente igual en el aire, por lo que el número de onda espectroscópico está directamente relacionado con los ángulos de la luz dispersada por las rejillas de difracción y la distancia entre las franjas en los interferómetros , cuando esos instrumentos se operan en el aire o en el vacío. Estos números de onda se utilizaron por primera vez en los cálculos de Johannes Rydberg en la década de 1880. El principio de combinación Rydberg-Ritz de 1908 también se formuló en términos de números de onda. Unos años más tarde, las líneas espectrales podrían entenderse en la teoría cuántica como diferencias entre los niveles de energía, siendo la energía proporcional al número de onda o frecuencia. Sin embargo, los datos espectroscópicos siguieron siendo tabulados en términos de número de onda espectroscópica en lugar de frecuencia o energía.

Por ejemplo, los números de onda espectroscópicos del espectro de emisión de hidrógeno atómico vienen dados por la fórmula de Rydberg :

${\ Displaystyle {\ tilde {\ nu}} = R \ left ({\ frac {1} {{n _ {\ text {f}}} ^ {2}}} - {\ frac {1} {{n_ { \ text {i}}} ^ {2}}} \ right),}$

donde R es la constante de Rydberg , y n _i y n _f son los principales números cuánticos de los niveles inicial y final, respectivamente ( n _i es mayor que n _f para la emisión).

Un número de onda espectroscópico se puede convertir en energía por fotón E mediante la relación de Planck :

${\ Displaystyle E = hc {\ tilde {\ nu}}.}$

También se puede convertir en longitud de onda de luz:

${\ Displaystyle \ lambda = {\ frac {1} {n {\ tilde {\ nu}}}},}$

donde n es el índice de refracción del medio . Tenga en cuenta que la longitud de onda de la luz cambia a medida que pasa a través de diferentes medios, sin embargo, el número de onda espectroscópico (es decir, la frecuencia) permanece constante.

Convencionalmente, se utilizan unidades de centímetro inverso (cm ^-1 ) , tan a menudo que algunos autores expresan tales frecuencias espaciales "en números de onda", transfiriendo incorrectamente el nombre de la cantidad a la unidad CGS cm ^{-1 en} sí. ${\ Displaystyle {\ tilde {\ nu}}}$

Ver también

• Frecuencia espacial
• Índice de refracción
• Número de onda zonal

Referencias