Notación Voigt - Voigt notation

En matemáticas , la notación de Voigt o la forma de Voigt en álgebra multilineal es una forma de representar un tensor simétrico reduciendo su orden. Hay algunas variantes y nombres asociados para esta idea: notación de Mandel , notación de Mandel-Voigt y notación de Nye son otras. La notación Kelvin es un renacimiento de Helbig de las viejas ideas de Lord Kelvin . Las diferencias aquí radican en ciertos pesos asignados a las entradas seleccionadas del tensor. La nomenclatura puede variar según lo tradicional en el campo de aplicación.

Por ejemplo, un tensor X simétrico de 2 × 2 tiene solo tres elementos distintos, los dos en la diagonal y el otro fuera de la diagonal. Por tanto, se puede expresar como el vector

${\ Displaystyle \ langle x_ {11}, x_ {22}, x_ {12} \ rangle}$.

Como otro ejemplo:

El tensor de tensión (en notación matricial) se da como

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ left [{\ begin {matrix} \ sigma _ {xx} & \ sigma _ {xy} & \ sigma _ {xz} \\\ sigma _ {yx} & \ sigma _ {yy} & \ sigma _ {yz} \\\ sigma _ {zx} & \ sigma _ {zy} & \ sigma _ {zz} \ end {matrix}} \ right].}$

En notación Voigt se simplifica a un vector de 6 dimensiones:

${\ Displaystyle {\ tilde {\ sigma}} = (\ sigma _ {xx}, \ sigma _ {yy}, \ sigma _ {zz}, \ sigma _ {yz}, \ sigma _ {xz}, \ sigma _ {xy}) \ equiv (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}, \ sigma _ {4}, \ sigma _ {5}, \ sigma _ {6}) .}$

El tensor de deformación, de naturaleza similar al tensor de tensión (ambos son tensores simétricos de segundo orden), se da en forma de matriz como

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ epsilon}} = \ left [{\ begin {matrix} \ epsilon _ {xx} & \ epsilon _ {xy} & \ epsilon _ {xz} \\\ epsilon _ {yx} & \ epsilon _ {yy} & \ epsilon _ {yz} \\\ epsilon _ {zx} & \ epsilon _ {zy} & \ epsilon _ {zz} \ end {matrix}} \ right].}$

Su representación en notación Voigt es

${\ displaystyle {\ tilde {\ epsilon}} = (\ epsilon _ {xx}, \ epsilon _ {yy}, \ epsilon _ {zz}, \ gamma _ {yz}, \ gamma _ {xz}, \ gamma _ {xy}) \ equiv (\ epsilon _ {1}, \ epsilon _ {2}, \ epsilon _ {3}, \ epsilon _ {4}, \ epsilon _ {5}, \ epsilon _ {6}) ,}$

donde , y son deformaciones por cizallamiento de ingeniería. ${\ Displaystyle \ gamma _ {xy} = 2 \ epsilon _ {xy}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {yz} = 2 \ epsilon _ {yz}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {zx} = 2 \ epsilon _ {zx}}$

El beneficio de usar diferentes representaciones para el estrés y la deformación es que la invariancia escalar

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ epsilon}} = \ sigma _ {ij} \ epsilon _ {ij} = {\ tilde {\ sigma}} \ cdot {\ tilde {\ épsilon}}}$

se conserva.

Asimismo, un tensor de cuarto orden simétrico tridimensional se puede reducir a una matriz de 6 × 6.

Regla mnemotécnica

Una regla mnemotécnica simple para memorizar la notación Voigt es la siguiente:

• Escriba el tensor de segundo orden en forma de matriz (en el ejemplo, el tensor de tensión)
• Tacha la diagonal
• Continúe en la tercera columna
• Regrese al primer elemento de la primera fila.

Los índices de Voigt se numeran consecutivamente desde el punto de inicio hasta el final (en el ejemplo, los números en azul).

Notación mandel

Para un tensor simétrico de segundo rango

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ left [{\ begin {matrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} & \ sigma _ {23} \\\ sigma _ {31} & \ sigma _ {32} & \ sigma _ {33} \ end {matrix}} \ right]}$

sólo seis componentes son distintos, los tres en diagonal y los otros fuera de diagonal. Por tanto, puede expresarse, en notación de Mandel, como el vector

${\ Displaystyle {\ tilde {\ sigma}} ^ {M} = \ langle \ sigma _ {11}, \ sigma _ {22}, \ sigma _ {33}, {\ sqrt {2}} \ sigma _ { 23}, {\ sqrt {2}} \ sigma _ {13}, {\ sqrt {2}} \ sigma _ {12} \ rangle.}$

La principal ventaja de la notación de Mandel es que permite el uso de las mismas operaciones convencionales que se utilizan con los vectores, por ejemplo:

${\ Displaystyle {\ tilde {\ sigma}}: {\ tilde {\ sigma}} = {\ tilde {\ sigma}} ^ {M} \ cdot {\ tilde {\ sigma}} ^ {M} = \ sigma _ {11} ^ {2} + \ sigma _ {22} ^ {2} + \ sigma _ {33} ^ {2} +2 \ sigma _ {23} ^ {2} +2 \ sigma _ {13} ^ {2} +2 \ sigma _ {12} ^ {2}.}$

Un tensor simétrico de rango cuatro satisfactorio y tiene 81 componentes en el espacio tridimensional, pero solo 36 componentes son distintos. Por lo tanto, en notación de Mandel, se puede expresar como ${\ Displaystyle D_ {ijkl} = D_ {jikl}}$${\ Displaystyle D_ {ijkl} = D_ {ijlk}}$

${\ displaystyle {\ tilde {D}} ^ {M} = {\ begin {pmatrix} D_ {1111} & D_ {1122} & D_ {1133} & {\ sqrt {2}} D_ {1123} & {\ sqrt { 2}} D_ {1113} & {\ sqrt {2}} D_ {1112} \\ D_ {2211} & D_ {2222} & D_ {2233} & {\ sqrt {2}} D_ {2223} & {\ sqrt { 2}} D_ {2213} & {\ sqrt {2}} D_ {2212} \\ D_ {3311} & D_ {3322} & D_ {3333} & {\ sqrt {2}} D_ {3323} & {\ sqrt { 2}} D_ {3313} y {\ sqrt {2}} D_ {3312} \\ {\ sqrt {2}} D_ {2311} y {\ sqrt {2}} D_ {2322} y {\ sqrt {2 }} D_ {2333} y 2D_ {2323} y 2D_ {2313} y 2D_ {2312} \\ {\ sqrt {2}} D_ {1311} y {\ sqrt {2}} D_ {1322} y {\ sqrt {2} } D_ {1333} y 2D_ {1323} y 2D_ {1313} y 2D_ {1312} \\ {\ sqrt {2}} D_ {1211} y {\ sqrt {2}} D_ {1222} y {\ sqrt {2}} D_ {1233} & 2D_ {1223} & 2D_ {1213} & 2D_ {1212} \\\ end {pmatrix}}.}$

Aplicaciones

La notación lleva el nombre del físico Woldemar Voigt y John Nye (científico) . Es útil, por ejemplo, en cálculos que involucran modelos constitutivos para simular materiales, como la ley de Hooke generalizada , así como el análisis de elementos finitos y la resonancia magnética por difusión .

La ley de Hooke tiene un tensor de rigidez simétrico de cuarto orden con 81 componentes (3 × 3 × 3 × 3), pero debido a que la aplicación de dicho tensor de rango 4 a un tensor simétrico de rango 2 debe producir otro tensor simétrico de rango 2, no todos los 81 elementos son independientes. La notación de Voigt permite que dicho tensor de rango 4 sea representado por una matriz de 6 × 6. Sin embargo, la forma de Voigt no conserva la suma de los cuadrados, que en el caso de la ley de Hooke tiene un significado geométrico. Esto explica por qué se introducen los pesos (para hacer que el mapeo sea una isometría ).

En Helnwein (2001) se puede encontrar una discusión sobre la invariancia de la notación de Voigt y la notación de Mandel.

Referencias

Ver también

• Vectorización (matemáticas)
• ley de Hooke