Vector Laplaciano - Vector Laplacian

En matemáticas y física , el operador vectorial de Laplace , denotado por , llamado así por Pierre-Simon Laplace , es un operador diferencial definido sobre un campo vectorial . El vector Laplaciano es similar al Laplaciano escalar . Mientras que el Laplaciano escalar se aplica a un campo escalar y devuelve una cantidad escalar, el Laplaciano vectorial se aplica a un campo vectorial , devolviendo una cantidad vectorial. Cuando se calcula en coordenadas cartesianas ortonormales , el campo vectorial devuelto es igual al campo vectorial del laplaciano escalar aplicado a cada componente vectorial. ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2}}$

Definición

El vector Laplaciano de un campo vectorial se define como ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {A}) - \ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {A}).}

En coordenadas cartesianas , esto se reduce a la forma mucho más simple:

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} = (\ nabla ^ {2} A_ {x}, \ nabla ^ {2} A_ {y}, \ nabla ^ {2} A_ {z}), }

donde , y son los componentes de . Este puede verse como un caso especial de la fórmula de Lagrange; ver producto triple de Vector . ${\ Displaystyle A_ {x}}$ ${\ Displaystyle A_ {y}}$ ${\ Displaystyle A_ {z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$

Para expresiones del vector Laplaciano en otros sistemas de coordenadas, vea Del en coordenadas cilíndricas y esféricas .

Generalización

El laplaciano de cualquier campo tensorial ("tensor" incluye escalar y vector) se define como la divergencia del gradiente del tensor: ${\ Displaystyle \ mathbf {T}}$

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {T} = (\ nabla \ cdot \ nabla) \ mathbf {T}.}

Para el caso especial donde es un escalar (un tensor de grado cero), el laplaciano toma la forma familiar. ${\ Displaystyle \ mathbf {T}}$

Si es un vector (un tensor de primer grado), el gradiente es una derivada covariante que da como resultado un tensor de segundo grado, y la divergencia de este es nuevamente un vector. La fórmula para el vector Laplaciano anterior puede usarse para evitar la matemática tensorial y puede demostrarse que es equivalente a la divergencia de la matriz jacobiana que se muestra a continuación para el gradiente de un vector: ${\ Displaystyle \ mathbf {T}}$

{\ Displaystyle \ nabla \ mathbf {T} = (\ nabla T_ {x}, \ nabla T_ {y}, \ nabla T_ {z}) = {\ begin {bmatrix} T_ {xx} & T_ {xy} & T_ { xz} \\ T_ {yx} & T_ {yy} & T_ {yz} \\ T_ {zx} & T_ {zy} & T_ {zz} \ end {bmatrix}}, {\ text {where}} T_ {uv} \ equiv {\ frac {\ parcial T_ {u}} {\ parcial v}}.}

Y, de la misma manera, un producto escalar, que se evalúa como un vector, de un vector por el gradiente de otro vector (un tensor de segundo grado) puede verse como un producto de matrices:

{\ Displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} A_ {x} & A_ {y} & A_ {z} \ end {bmatrix}} \ nabla \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} \ cdot \ nabla B_ {x} & \ mathbf {A} \ cdot \ nabla B_ {y} & \ mathbf {A} \ cdot \ nabla B_ {z} \ end { bmatrix}}.}

Esta identidad es un resultado dependiente de las coordenadas y no es general.

Uso en física

Un ejemplo del uso del vector laplaciano son las ecuaciones de Navier-Stokes para un flujo incompresible newtoniano :

{\ Displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ parcial \ mathbf {v}} {\ parcial t}} + (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} \ right) = \ rho \ mathbf {f} - \ nabla p + \ mu \ left (\ nabla ^ {2} \ mathbf {v} \ right),}

donde el término con el vector Laplaciano del campo de velocidad representa las tensiones viscosas en el fluido. ${\ Displaystyle \ mu \ left (\ nabla ^ {2} \ mathbf {v} \ right)}$