Descomposición de la varianza de los errores de pronóstico - Variance decomposition of forecast errors

En econometría y otras aplicaciones del análisis de series de tiempo multivariante , se utiliza una descomposición de la varianza o descomposición de la varianza del error de pronóstico ( FEVD ) para ayudar en la interpretación de un modelo de autorregresión vectorial (VAR) una vez que se ha ajustado. La descomposición de la varianza indica la cantidad de información que cada variable aporta a las otras variables en la autorregresión. Determina cuánto de la varianza del error de pronóstico de cada una de las variables puede explicarse por choques exógenos a las otras variables.

Cálculo de la varianza del error de pronóstico

Para el VAR (p) de forma

${\ Displaystyle y_ {t} = \ nu + A_ {1} y_ {t-1} + \ dots + A_ {p} y_ {tp} + u_ {t}}$ .

Esto se puede cambiar a una estructura VAR (1) escribiéndola en forma complementaria (consulte la notación matricial general de un VAR (p))

${\ Displaystyle Y_ {t} = V + AY_ {t-1} + U_ {t}}$ dónde

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} A_ {1} & A_ {2} & \ dots & A_ {p-1} & A_ {p} \\\ mathbf {I} _ {k} & 0 & \ dots & 0 & 0 \\ 0 & \ mathbf {I} _ {k} && 0 & 0 \\\ vdots && \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ dots & \ mathbf {I} _ {k} & 0 \\\ end {bmatrix}}}$, , Y${\ Displaystyle Y = {\ begin {bmatrix} y_ {1} \\\ vdots \\ y_ {p} \ end {bmatrix}}}$${\ displaystyle V = {\ begin {bmatrix} \ nu \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \ end {bmatrix}}}$${\ displaystyle U_ {t} = {\ begin {bmatrix} u_ {t} \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \ end {bmatrix}}}$

donde , y son vectores de columna dimensionales, es por matriz dimensional y , y son vectores de columna dimensionales. ${\ Displaystyle y_ {t}}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle A}$${\ displaystyle kp}$${\ displaystyle kp}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle U}$${\ displaystyle kp}$

El error cuadrático medio del pronóstico de escalones h de la variable es ${\ Displaystyle j}$

${\ Displaystyle \ mathbf {MSE} [y_ {j, t} (h)] = \ sum _ {i = 0} ^ {h-1} \ sum _ {l = 1} ^ {k} (e_ {j } '\ Theta _ {i} e_ {l}) ^ {2} = {\ bigg (} \ sum _ {i = 0} ^ {h-1} \ Theta _ {i} \ Theta _ {i}' {\ bigg)} _ {jj} = {\ bigg (} \ sum _ {i = 0} ^ {h-1} \ Phi _ {i} \ Sigma _ {u} \ Phi _ {i} '{\ bigg)} _ {jj},}$

y donde

• ${\ Displaystyle e_ {j}}$es la j- ^ésima columna de y el subíndice se refiere a ese elemento de la matriz${\ Displaystyle I_ {k}}$${\ displaystyle jj}$

• ${\ Displaystyle \ Theta _ {i} = \ Phi _ {i} P,}$donde es una matriz triangular inferior obtenida por una descomposición de Cholesky de tal que , donde es la matriz de covarianza de los errores ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {u}}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {u} = PP '}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {u}}$${\ Displaystyle u_ {t}}$

• ${\ Displaystyle \ Phi _ {i} = JA_ {i} J ',}$donde de manera que es una por matriz dimensional.${\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {I} _ {k} & 0 & \ dots & 0 \ end {bmatrix}},}$${\ Displaystyle J}$${\ Displaystyle k}$${\ displaystyle kp}$

La cantidad de varianza del error de pronóstico de la variable explicada por los choques exógenos a la variable viene dada por${\ Displaystyle j}$${\ Displaystyle l}$${\ Displaystyle \ omega _ {jl, h},}$

${\ Displaystyle \ omega _ {jl, h} = \ sum _ {i = 0} ^ {h-1} (e_ {j} '\ Theta _ {i} e_ {l}) ^ {2} / MSE [ y_ {j, t} (h)].}$

Ver también

• Análisis de variación

Notas