Prueba uniformemente más potente: Uniformly most powerful test

En la prueba de hipótesis estadística , un uniformemente más potente ( UMP ) de prueba es una prueba de hipótesis que tiene la mayor potencia ${\ Displaystyle 1- \ beta}$ entre todas las posibles pruebas de un determinado tamaño α . Por ejemplo, de acuerdo con el lema de Neyman-Pearson , la prueba de razón de verosimilitud es UMP para probar hipótesis simples (puntuales).

Configuración

Deje denotan un vector aleatorio (correspondiente a las mediciones), tomada de una familia parametrizada de funciones de densidad de probabilidad o función de probabilidad , que depende del parámetro determinista desconocido . El espacio de parámetros se divide en dos conjuntos separados y . Dejar que denotan la hipótesis de que , y dejar que denotan la hipótesis de que . La prueba binaria de hipótesis se realiza mediante una función de prueba . ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle f _ {\ theta} (x)}$${\ Displaystyle \ theta \ in \ Theta}$${\ Displaystyle \ Theta}$${\ Displaystyle \ Theta _ {0}}$${\ Displaystyle \ Theta _ {1}}$${\ Displaystyle H_ {0}}$${\ Displaystyle \ theta \ en \ Theta _ {0}}$${\ Displaystyle H_ {1}}$${\ Displaystyle \ theta \ en \ Theta _ {1}}$${\ Displaystyle \ varphi (x)}$

${\ Displaystyle \ varphi (x) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} \ theta \ in \ Theta _ {1} \\ 0 & {\ text {if}} \ theta \ in \ Theta _ {0} \ end {cases}}}$

lo que significa que está en vigor si la medida y que está en vigor si la medida . Tenga en cuenta que es una cobertura inconexa del espacio de medición. ${\ Displaystyle H_ {1}}$${\ Displaystyle X \ en \ Theta _ {1}}$${\ Displaystyle H_ {0}}$${\ Displaystyle X \ en \ Theta _ {0}}$${\ Displaystyle \ Theta _ {0} \ cup \ Theta _ {1}}$

Definicion formal

Una función de prueba es UMP de tamaño si para cualquier otra función de prueba satisface ${\ Displaystyle \ varphi (x)}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ varphi '(x)}$

${\ Displaystyle \ sup _ {\ theta \ in \ Theta _ {0}} \; \ nombre del operador {E} _ {\ theta} \ varphi '(X) = \ alpha' \ leq \ alpha = \ sup _ {\ theta \ in \ Theta _ {0}} \; \ operatorname {E} _ {\ theta} \ varphi (X) \,}$

tenemos

${\ Displaystyle \ forall \ theta \ in \ Theta _ {1}, \ quad \ operatorname {E} _ {\ theta} \ varphi '(X) = 1- \ beta' (\ theta) \ leq 1- \ beta (\ theta) = \ operatorname {E} _ {\ theta} \ varphi (X).}$

El teorema de Karlin-Rubin

El teorema de Karlin-Rubin puede considerarse como una extensión del lema de Neyman-Pearson para hipótesis compuestas. Considere una medida escalar que tiene una función de densidad de probabilidad parametrizada por un parámetro escalar θ , y defina la razón de verosimilitud . Si es monótono no decreciente, en , para cualquier par (lo que significa que cuanto mayor es, más probable es), entonces la prueba de umbral: ${\ Displaystyle l (x) = f _ {\ theta _ {1}} (x) / f _ {\ theta _ {0}} (x)}$${\ Displaystyle l (x)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ theta _ {1} \ geq \ theta _ {0}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle H_ {1}}$

${\ displaystyle \ varphi (x) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} x> x_ {0} \\ 0 & {\ text {if}} x <x_ {0} \ end {cases} }}$

donde se elige de tal manera que ${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle \ operatorname {E} _ {\ theta _ {0}} \ varphi (X) = \ alpha}$

es la prueba UMP de tamaño α para probar ${\ Displaystyle H_ {0}: \ theta \ leq \ theta _ {0} {\ text {frente a}} H_ {1}: \ theta> \ theta _ {0}.}$

Tenga en cuenta que exactamente la misma prueba también es UMP para probar ${\ Displaystyle H_ {0}: \ theta = \ theta _ {0} {\ text {frente a}} H_ {1}: \ theta> \ theta _ {0}.}$

Caso importante: familia exponencial

Aunque el teorema de Karlin-Rubin puede parecer débil debido a su restricción al parámetro escalar y la medición escalar, resulta que existe una gran cantidad de problemas para los que el teorema es válido. En particular, la familia exponencial unidimensional de funciones de densidad de probabilidad o funciones de masa de probabilidad con

${\ Displaystyle f _ {\ theta} (x) = g (\ theta) h (x) \ exp (\ eta (\ theta) T (x))}$

tiene una razón de probabilidad monótona no decreciente en la estadística suficiente , siempre que no sea decreciente. ${\ Displaystyle T (x)}$${\ Displaystyle \ eta (\ theta)}$

Ejemplo

Deje denotan iid distribuidas normalmente vectores aleatorios -dimensional con media matriz y covarianza . Entonces tenemos ${\ Displaystyle X = (X_ {0}, \ ldots, X_ {M-1})}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle \ theta m}$${\ Displaystyle R}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} f _ {\ theta} (X) = {} & (2 \ pi) ^ {- MN / 2} | R | ^ {- M / 2} \ exp \ left \ {- {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {M-1} (X_ {n} - \ theta m) ^ {T} R ^ {- 1} (X_ {n} - \ theta m) \ right \} \\ [4pt] = {} & (2 \ pi) ^ {- MN / 2} | R | ^ {- M / 2} \ exp \ left \ {- {\ frac { 1} {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {M-1} \ left (\ theta ^ {2} m ^ {T} R ^ {- 1} m \ right) \ right \} \\ [4pt] & \ exp \ left \ {- {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {M-1} X_ {n} ^ {T} R ^ {- 1} X_ {n} \ right \} \ exp \ left \ {\ theta m ^ {T} R ^ {- 1} \ sum _ {n = 0} ^ {M-1} X_ {n} \ right \} \ end {alineado}}}$

que está exactamente en la forma de la familia exponencial que se muestra en la sección anterior, siendo el estadístico suficiente

${\ Displaystyle T (X) = m ^ {T} R ^ {- 1} \ sum _ {n = 0} ^ {M-1} X_ {n}.}$

Por tanto, concluimos que la prueba

${\ displaystyle \ varphi (T) = {\ begin {cases} 1 & T> t_ {0} \\ 0 & T <t_ {0} \ end {cases}} \ qquad \ operatorname {E} _ {\ theta _ {0} } \ varphi (T) = \ alpha}$

es la prueba UMP de tamaño para probar vs. ${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle H_ {0}: \ theta \ leqslant \ theta _ {0}}$${\ Displaystyle H_ {1}: \ theta> \ theta _ {0}}$

Más discusión

Finalmente, observamos que, en general, las pruebas UMP no existen para los parámetros vectoriales o para las pruebas bilaterales (una prueba en la que una hipótesis se encuentra en ambos lados de la alternativa). La razón es que en estas situaciones, la prueba más poderosa de un tamaño dado para un valor posible del parámetro (por ejemplo, para dónde ) es diferente de la prueba más poderosa del mismo tamaño para un valor diferente del parámetro (por ejemplo, para dónde ). Como resultado, ninguna prueba es uniformemente más poderosa en estas situaciones. ${\ Displaystyle \ theta _ {1}}$${\ Displaystyle \ theta _ {1}> \ theta _ {0}}$${\ Displaystyle \ theta _ {2}}$${\ Displaystyle \ theta _ {2} <\ theta _ {0}}$

Referencias

Otras lecturas

• Ferguson, TS (1967). "Sec. 5.2: Pruebas uniformemente más potentes ". Estadística matemática: un enfoque teórico de la decisión . Nueva York: Academic Press.
• Estado de ánimo, AM; Graybill, FA; Boes, DC (1974). "Sec. IX.3.2: Pruebas uniformemente más potentes ". Introducción a la teoría de la estadística (3ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill.
• LL Scharf, Procesamiento estadístico de señales , Addison-Wesley, 1991, sección 4.7.