Espacio uniformemente convexo - Uniformly convex space

En matemáticas , los espacios uniformemente convexos (o espacios uniformemente redondeados ) son ejemplos comunes de espacios reflexivos de Banach . El concepto de convexidad uniforme fue introducido por primera vez por James A. Clarkson en 1936.

Definición

Un espacio uniformemente convexo es un espacio vectorial normalizado tal que, para cada hay algo tal que para dos vectores cualesquiera con y la condición ${\ Displaystyle 0 <\ varepsilon \ leq 2}$ ${\ Displaystyle \ delta> 0}$ ${\ Displaystyle \ | x \ | = 1}$ ${\ Displaystyle \ | y \ | = 1,}$

{\ Displaystyle \ | xy \ | \ geq \ varepsilon}

implica que:

{\ Displaystyle \ left \ | {\ frac {x + y} {2}} \ right \ | \ leq 1- \ delta.}

Intuitivamente, el centro de un segmento de línea dentro de la bola unitaria debe estar profundamente dentro de la bola unitaria a menos que el segmento sea corto.

Propiedades

La esfera unitaria se puede reemplazar con la esfera unitaria cerrada en la definición. Es decir, un espacio vectorial normalizado es uniformemente convexo si y solo si para cada hay algo de modo que, para dos vectores cualesquiera y en la bola unitaria cerrada (es decir, y ) con , uno tiene (observe que, dado , el valor correspondiente de podría ser más pequeño que el proporcionado por la definición original más débil). ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle 0 <\ varepsilon \ leq 2}$ ${\ Displaystyle \ delta> 0}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle y}$ ${\ Displaystyle \ | x \ | \ leq 1}$ ${\ Displaystyle \ | y \ | \ leq 1}$ ${\ Displaystyle \ | xy \ | \ geq \ varepsilon}$ ${\ Displaystyle \ left \ | {\ frac {x + y} {2}} \ right \ | \ leq 1- \ delta}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ ${\ Displaystyle \ delta}$

Prueba

La parte del "si" es trivial. A la inversa, suponga ahora que es uniformemente convexo y que son como en el enunciado, para algunos fijos . Sea el valor de correspondiente a en la definición de convexidad uniforme. Lo mostraremos , con . ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle x, y}$ ${\ Displaystyle 0 <\ varepsilon \ leq 2}$ ${\ Displaystyle \ delta _ {1} \ leq 1}$ ${\ Displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ varepsilon} {3}}}$ ${\ Displaystyle \ left \ | {\ frac {x + y} {2}} \ right \ | \ leq 1- \ delta}$ ${\ Displaystyle \ delta = \ min \ left \ {{\ frac {\ varepsilon} {6}}, {\ frac {\ delta _ {1}} {3}} \ right \}}$

Si entonces y se prueba la afirmación. Un argumento similar se aplica al caso , por lo que podemos suponer eso . En este caso, dado que ambos vectores son distintos de cero, podemos dejar y . Tenemos y de manera similar , así y pertenecemos a la esfera unitaria y tenemos distancia . Por lo tanto, por nuestra elección de , tenemos . De ello se deduce que y se prueba la afirmación. ${\ Displaystyle \ | x \ | \ leq 1-2 \ delta}$ ${\ Displaystyle \ left \ | {\ frac {x + y} {2}} \ right \ | \ leq {\ frac {1} {2}} (1-2 \ delta) + {\ frac {1} { 2}} = 1- \ delta}$ ${\ Displaystyle \ | y \ | \ leq 1-2 \ delta}$ ${\ Displaystyle 1-2 \ delta <\ | x \ |, \ | y \ | \ leq 1}$ ${\ Displaystyle \ delta \ leq {\ frac {1} {3}}}$ ${\ Displaystyle x '= {\ frac {x} {\ | x \ |}}}$ ${\ Displaystyle y '= {\ frac {y} {\ | y \ |}}}$ ${\ Displaystyle \ | x'-x \ | = 1- \ | x \ | \ leq 2 \ delta}$ ${\ Displaystyle \ | y'-y \ | \ leq 2 \ delta}$ ${\ Displaystyle x '}$ ${\ Displaystyle y '}$ ${\ Displaystyle \ | x'-y '\ | \ geq \ | xy \ | -4 \ delta \ geq \ varepsilon - {\ frac {4 \ varepsilon} {6}} = {\ frac {\ varepsilon} {3 }}}$ ${\ Displaystyle \ delta _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ left \ | {\ frac {x '+ y'} {2}} \ right \ | \ leq 1- \ delta _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ left \ | {\ frac {x + y} {2}} \ right \ | \ leq \ left \ | {\ frac {x '+ y'} {2}} \ right \ | + {\ frac {\ | x'-x \ | + \ | y'-y \ |} {2}} \ leq 1- \ delta _ {1} +2 \ delta \ leq 1 - {\ frac {\ delta _ { 1}} {3}} \ leq 1- \ delta}$

El teorema de Milman-Pettis establece que todo espacio de Banach uniformemente convexo es reflexivo , mientras que lo contrario no es cierto.
Cada uniformemente convexa espacio de Banach es un espacio de Radon-Riesz, es decir, si es una secuencia en un espacio uniformemente convexa Banach que converge débilmente a y satisface entonces converge fuertemente a , es decir, . ${\ Displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ | f_ {n} \ | \ to \ | f \ |,}$ ${\ Displaystyle f_ {n}}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ | f_ {n} -f \ | \ to 0}$
Un espacio de Banach es uniformemente convexo si y solo si su dual es uniformemente liso . ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X ^ {*}}$
Todo espacio uniformemente convexo es estrictamente convexo . Intuitivamente, la convexidad estricta significa una desigualdad de triángulos más fuerte siempre que sean linealmente independientes, mientras que la convexidad uniforme requiere que esta desigualdad sea verdadera de manera uniforme. ${\ Displaystyle \ | x + y \ | <\ | x \ | + \ | y \ |}$ ${\ Displaystyle x, y}$

Ejemplos de

Cada espacio de Hilbert es uniformemente convexo.
Cada subespacio cerrado de un espacio de Banach uniformemente convexo es uniformemente convexo.
Las desigualdades de Hanner implican que L ^p espacios son uniformemente convexos. ${\ Displaystyle (1 <p <\ infty)}$
Por el contrario, no es uniformemente convexo. ${\ Displaystyle L ^ {\ infty}}$

Ver también

Referencias

Clarkson, JA (1936). "Espacios uniformemente convexos" . Trans. Amer. Matemáticas. Soc . Sociedad Matemática Estadounidense. 40 (3): 396–414. doi : 10.2307 / 1989630 . JSTOR 1989630 ..
Hanner, O. (1956). "Sobre la convexidad uniforme de y " ${\ Displaystyle L ^ {p}}$ ${\ Displaystyle l ^ {p}}$ . Ark. Mat . 3 : 239–244. doi : 10.1007 / BF02589410 ..
Beauzamy, Bernard (1985) [1982]. Introducción a los espacios de Banach y su geometría (Segunda edición revisada). Holanda Septentrional. ISBN 0-444-86416-4.
Por Enflo (1972). "Espacios de Banach a los que se les puede dar una norma equivalente uniformemente convexa" . Revista de Matemáticas de Israel . 13 (3–4): 281–288. doi : 10.1007 / BF02762802 .
Lindenstrauss, Joram y Benyamini, Yoav. Publicaciones del Coloquio de análisis funcional geométrico no lineal , 48. American Mathematical Society.

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