Espacio ultramétrico - Ultrametric space

En matemáticas , un espacio ultramétrico es un espacio métrico en el que se refuerza la desigualdad del triángulo . A veces, la métrica asociada también se denomina métrica no arquimediana o supermétrica . Aunque algunos de los teoremas de los espacios ultramétricos pueden parecer extraños a primera vista, aparecen de forma natural en muchas aplicaciones.

Definicion formal

Un ultramétrico en un conjunto M es una función de valor real

(donde denota los números reales ), tal que para todo x , y , zM :

  1. d ( x , y ) ≥ 0 ;
  2. d ( x , y ) = d ( y , x ) ( simetría )
  3. d ( x , x ) = 0 ;
  4. si d ( x , y ) = 0 entonces x = y  ;
  5. d ( x , z ) ≤ max { d ( x , y ), d ( y , z ) } ( desigualdad triangular fuerte o desigualdad ultramétrica ).

Un espacio ultramétrico es un par ( M , d ) que consta de un conjunto M junto con una d ultramétrica en M , que se denomina función de distancia asociada al espacio (también llamada métrica ).

Si d satisface todas las condiciones excepto posiblemente condición 4 a continuación, d se denomina una ultrapseudometric en M . Un espacio ultrapseudometric es un par ( M , d ) que consiste en un conjunto M y un ultrapseudometric d en M .

En el caso de que M sea ​​un grupo (escrito de forma aditiva) yd sea ​​generado por una función de longitud (de modo que ), la última propiedad se puede fortalecer utilizando el afilado de Krull para:

con igualdad si .

Queremos demostrar que si , entonces la igualdad ocurre si . Sin pérdida de generalidad , supongamos eso . Esto implica eso . Pero también podemos calcular . Ahora, el valor de no puede ser , porque si ese es el caso, tenemos lo contrario a la suposición inicial. Por lo tanto , y . Usando la desigualdad inicial, tenemos y por lo tanto .

Propiedades

En el triángulo de la derecha, los dos puntos inferiores xey violan la condición d (x, y) ≤ max (d (x, z), d (y, z)).

De la definición anterior, se pueden concluir varias propiedades típicas de la ultramétrica. Por ejemplo, para todos , al menos una de las tres igualdad o o se mantiene. Es decir, cada triple de puntos en el espacio forma un triángulo isósceles , por lo que todo el espacio es un conjunto isósceles .

Definiendo la bola (abierta) de radio centrada en as , tenemos las siguientes propiedades:

  • Cada punto dentro de una bola es su centro, es decir, si entonces .
  • Bolas de intersección están contenidas en uno al otro, es decir, si es no vacía a continuación, ya sea o .
  • Todas las bolas de radio estrictamente positivo son conjuntos abiertos y cerrados en la topología inducida . Es decir, las bolas abiertas también están cerradas y las bolas cerradas (reemplazar con ) también están abiertas.
  • El conjunto de todas las bolas abiertas con radio y centro en una bola cerrada de radio forma una partición de esta última, y ​​la distancia mutua de dos bolas abiertas distintas es (mayor o) igual a .

Probar estas afirmaciones es un ejercicio instructivo. Todos derivan directamente de la desigualdad del triángulo ultramétrico. Tenga en cuenta que, según la segunda afirmación, una bola puede tener varios puntos centrales que tienen una distancia distinta de cero. La intuición detrás de estos efectos aparentemente extraños es que, debido a la fuerte desigualdad del triángulo, las distancias en la ultramétrica no cuadran.

Ejemplos de

  • La métrica discreta es ultramétrica.
  • Los números p -ádicos forman un espacio ultramétrico completo.
  • Considere el conjunto de palabras de longitud arbitraria (finita o infinita), Σ * , sobre algún alfabeto Σ. Defina la distancia entre dos palabras diferentes como 2 - n , donde n es el primer lugar en el que difieren las palabras. La métrica resultante es ultramétrica.
  • El conjunto de palabras con extremos pegados de longitud n sobre algún alfabeto Σ es un espacio ultramétrico con respecto a la p -distancia cercana. Dos palabras x y y son p -cerca si cualquier subcadena de p cartas consecutivas ( p < n ) aparece el mismo número de veces (que también podría ser cero) tanto en x y y .
  • Si r = ( r n ) es una secuencia de números reales decrecientes a cero, entonces | x | r  : = lim sup n → ∞ | x n | r n induce una ultramétrica en el espacio de todas las secuencias complejas para las que es finito. (Tenga en cuenta que esta no es una seminorma ya que carece de homogeneidad : si se permite que r n sea ​​cero, se debe usar aquí la convención bastante inusual de que 0 0 = 0 ).
  • Si G es un grafo no dirigido ponderado por aristas , todos los pesos de aristas son positivos y d ( u , v ) es el peso de la ruta minimax entre u y v (es decir, el mayor peso de una arista, en una ruta elegida para minimizar este mayor peso), entonces los vértices del gráfico, con la distancia medida por d , forman un espacio ultramétrico, y todos los espacios ultramétricos finitos pueden representarse de esta manera.

Aplicaciones

Referencias

Bibliografía

Otras lecturas