Atado de Tsirelson - Tsirelson's bound

Un límite de Tsirelson es un límite superior para las correlaciones de la mecánica cuántica entre eventos distantes. Dado que la mecánica cuántica no es local (es decir, que las correlaciones de la mecánica cuántica violan las desigualdades de Bell ), una pregunta natural es "¿qué tan no local puede ser la mecánica cuántica?", O, más precisamente, en qué medida puede la desigualdad de Bell. ser violado dentro de la mecánica cuántica. La respuesta es precisamente el destino de Tsirelson para la desigualdad de Bell particular en cuestión. En general, este límite es más bajo que el límite que se obtendría si se consideraran teorías más generales, solo restringidas por "no señalización" (es decir, que no permiten una comunicación más rápida que la luz), y se ha dedicado mucha investigación a la pregunta de por qué es así.

Los límites de Tsirelson llevan el nombre de Boris S. Tsirelson (o Cirel'son, en una transliteración diferente ), el autor del artículo en el que se derivó el primero.

Con destino a la desigualdad CHSH

El primer límite de Tsirelson se obtuvo como un límite superior de las correlaciones medidas en la desigualdad CHSH . Afirma que si tenemos cuatro ( hermitiana ) observables dicotómicas , , , (es decir, dos observables para Alice y dos para Bob ) con los resultados de tal manera que para todos , a continuación, ${\ Displaystyle A_ {0}}$${\ Displaystyle A_ {1}}$${\ Displaystyle B_ {0}}$${\ Displaystyle B_ {1}}$${\ displaystyle + 1, -1}$${\ Displaystyle [A_ {i}, B_ {j}] = 0}$${\ Displaystyle i, j}$

${\ Displaystyle \ langle A_ {0} B_ {0} \ rangle + \ langle A_ {0} B_ {1} \ rangle + \ langle A_ {1} B_ {0} \ rangle - \ langle A_ {1} B_ { 1} \ rangle \ leq 2 {\ sqrt {2}}.}$

A modo de comparación, en el caso clásico (o en el caso realista local) el límite superior es 2, mientras que si se permite cualquier asignación arbitraria de , es 4. El límite de Tsirelson ya se alcanza si Alice y Bob hacen cada uno mediciones en un qubit , el El sistema cuántico no trivial más simple. ${\ displaystyle + 1, -1}$

Existen varias pruebas de este vínculo, pero quizás la más esclarecedora se base en la identidad Khalfin-Tsirelson-Landau. Si definimos un observable

${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} = A_ {0} B_ {0} + A_ {0} B_ {1} + A_ {1} B_ {0} -A_ {1} B_ {1},}$

y , es decir, si los observables están asociados a los resultados de la medición proyectiva, entonces ${\ Displaystyle A_ {i} ^ {2} = B_ {j} ^ {2} = \ mathbb {I}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {2} = 4 \ mathbb {I} - [A_ {0}, A_ {1}] [B_ {0}, B_ {1}].}$

Si o , que puede considerarse el caso clásico, ya se sigue . En el caso cuántico, solo necesitamos notar eso , y sigue el límite de Tsirelson . ${\ Displaystyle [A_ {0}, A_ {1}] = 0}$${\ Displaystyle [B_ {0}, B_ {1}] = 0}$${\ Displaystyle \ langle {\ mathcal {B}} \ rangle \ leq 2}$${\ Displaystyle {\ big \ |} [A_ {0}, A_ {1}] {\ big \ |} \ leq 2 \ | A_ {0} \ | \ | A_ {1} \ | \ leq 2}$${\ Displaystyle \ langle {\ mathcal {B}} \ rangle \ leq 2 {\ sqrt {2}}}$

Otras desigualdades de Bell

Tsirelson también mostró que para cualquier desigualdad de Bell de correlación completa bipartita con m entradas para Alice yn entradas para Bob, la relación entre el límite de Tsirelson y el límite local es como máximo donde y es la constante de Grothendieck de orden d . Tenga en cuenta que , dado que , este límite implica el resultado anterior sobre la desigualdad CHSH. ${\ Displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {R}} (\ lfloor r \ rfloor),}$${\ Displaystyle r = \ min \ left \ {m, n, - {\ frac {1} {2}} + {\ sqrt {{\ frac {1} {4}} + 2 (m + n)}} \derecho\},}$${\ Displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {R}} (d)}$${\ Displaystyle K_ {G} ^ {\ mathbb {R}} (2) = {\ sqrt {2}}}$

En general, obtener un límite de Tsirelson para una desigualdad de Bell dada es un problema difícil que debe resolverse caso por caso. Ni siquiera se sabe que sea decidible. El método computacional más conocido para el límite superior es una jerarquía convergente de programas semidefinidos , la jerarquía NPA, que en general no se detiene. Los valores exactos son conocidos para algunas desigualdades de Bell más:

Para las desigualdades de Braunstein-Caves tenemos que

${\ Displaystyle \ langle {\ text {BC}} _ ​​{n} \ rangle \ leq n \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right).}$

Para las desigualdades WWŻB, el límite de Tsirelson es

${\ Displaystyle \ langle {\ text {WWZB}} _ {n} \ rangle \ leq 2 ^ {(n-1) / 2}.}$

Para la desigualdad, el límite de Tsirelson no se conoce con exactitud, pero las realizaciones concretas dan un límite inferior de${\ Displaystyle I_ {3322}}$0.250 875 38 , y la jerarquía NPA da un límite superior de0,250 875 39 . Se conjetura que solo los estados cuánticos de dimensión infinita pueden alcanzar el límite de Tsirelson.

Derivación de principios físicos

Se ha dedicado una investigación significativa a encontrar un principio físico que explique por qué las correlaciones cuánticas solo llegan hasta el límite de Tsirelson y nada más. Se han encontrado tres de estos principios: ausencia de ventajas para el cálculo no local, causalidad de la información y localidad macroscópica. Es decir, si se pudiera lograr una correlación CHSH que exceda el límite de Tsirelson, se violarían todos esos principios. El límite de Tsirelson también sigue si el experimento de Bell admite una medida de quansal fuertemente positiva.

El problema de Tsirelson

Hay dos formas diferentes de definir el límite de Tsirelson de una expresión de Bell. Uno al exigir que las mediciones estén en una estructura de producto tensorial, y otro al exigir solo que se conmuten. El problema de Tsirelson es la cuestión de si estas dos definiciones son equivalentes. Más formalmente, dejemos

${\ Displaystyle B = \ sum _ {abxy} \ mu _ {abxy} p (ab | xy)}$

ser una expresión de Bell, donde es la probabilidad de obtener resultados con la configuración . El producto tensor Tsirelson obligado es entonces el extremo superior del valor alcanzado en esta expresión de Bell haciendo mediciones y en un estado cuántico : ${\ Displaystyle p (ab | xy)}$${\ Displaystyle a, b}$${\ Displaystyle x, y}$${\ Displaystyle A_ {x} ^ {a}: {\ mathcal {H}} _ {A} \ to {\ mathcal {H}} _ {A}}$${\ Displaystyle B_ {y} ^ {b}: {\ mathcal {H}} _ {B} \ a {\ mathcal {H}} _ {B}}$${\ Displaystyle | \ psi \ rangle \ in {\ mathcal {H}} _ {A} \ otimes {\ mathcal {H}} _ {B}}$

${\ Displaystyle T_ {t} = \ sup _ {| \ psi \ rangle, A_ {x} ^ {a}, B_ {y} ^ {b}} \ sum _ {abxy} \ mu _ {abxy} \ langle \ psi | A_ {x} ^ {a} \ otimes B_ {y} ^ {b} | \ psi \ rangle.}$

La desplazamientos Tsirelson obligado es el extremo superior del valor alcanzado en esta expresión de Bell haciendo mediciones y de tal manera que en un estado cuántico : ${\ Displaystyle A_ {x} ^ {a}: {\ mathcal {H}} \ to {\ mathcal {H}}}$${\ Displaystyle B_ {y} ^ {b}: {\ mathcal {H}} \ to {\ mathcal {H}}}$${\ Displaystyle \ forall a, b, x, y; [A_ {x} ^ {a}, B_ {y} ^ {b}] = 0}$${\ Displaystyle | \ psi \ rangle \ in {\ mathcal {H}}}$

${\ Displaystyle T_ {c} = \ sup _ {| \ psi \ rangle, A_ {x} ^ {a}, B_ {y} ^ {b}} \ sum _ {abxy} \ mu _ {abxy} \ langle \ psi | A_ {x} ^ {a} B_ {y} ^ {b} | \ psi \ rangle.}$

Desde las álgebra de productos tensor, en particular, conmute, . En dimensiones finitas, las álgebras de conmutación son siempre isomorfas a (sumas directas de) álgebras de producto tensorial, por lo que solo para dimensiones infinitas es posible que . El problema de Tsirelson es la cuestión de si para todas las expresiones de Bell . ${\ Displaystyle T_ {t} \ leq T_ {c}}$${\ Displaystyle T_ {t} \ neq T_ {c}}$${\ Displaystyle T_ {t} = T_ {c}}$

Esta cuestión fue considerada por primera vez por Boris Tsirelson en 1993, donde afirmó sin pruebas eso . Cuando Antonio Acín le pidió una prueba en 2006, se dio cuenta de que la que tenía en mente no funcionaba y emitió la pregunta como un problema abierto. Junto con Miguel Navascués y Stefano Pironio, Antonio Acín había desarrollado una jerarquía de programas semidefinidos, la jerarquía NPA, que convergía con el enlace Tsirelson de desplazamiento desde arriba, y quería saber si también convergía con el producto tensor Tsirelson enlazado , el más físicamente. uno relevante. ${\ Displaystyle T_ {t} = T_ {c}}$${\ Displaystyle T_ {c}}$${\ Displaystyle T_ {t}}$

Dado que se puede producir una secuencia convergente de aproximaciones desde abajo considerando estados y observables de dimensión finita , entonces este procedimiento se puede combinar con la jerarquía NPA para producir un algoritmo de detención para calcular el límite de Tsirelson, convirtiéndolo en un número computable ( tenga en cuenta que de forma aislada ninguno de los procedimientos se detiene en general). Por el contrario, si no es computable, entonces . En enero de 2020, Ji, Natarajan, Vidick, Wright y Yuen afirmaron haber demostrado que no es computable, resolviendo así el problema de Tsirelson. ${\ Displaystyle T_ {t}}$${\ Displaystyle T_ {t} = T_ {c}}$${\ Displaystyle T_ {t}}$${\ Displaystyle T_ {t} \ neq T_ {c}}$${\ Displaystyle T_ {t}}$

Se ha demostrado que el problema de Tsirelson es equivalente al problema de incrustación de Connes .

Ver también

• No localidad cuántica
• Teorema de Bell
• Paradoja EPR
• Desigualdad CHSH
• Pseudo-telepatía cuántica

Referencias