Anillo total de fracciones - Total ring of fractions

En álgebra abstracta , el anillo del cociente total , o anillo total de fracciones , es una construcción que generaliza la noción del campo de fracciones de un dominio integral a anillos conmutativos R que pueden tener divisores cero . La construcción incrusta R en un anillo más grande, dando a cada divisor distinto de cero de R un inverso en el anillo más grande. Si el homomorfismo de R al nuevo anillo debe ser inyectivo, no se puede dar una inversa a otros elementos.

Definición

Sea un anillo conmutativo y sea el conjunto de elementos que no son divisores de cero en ; entonces es un conjunto multiplicativamente cerrado . Por tanto, podemos localizar el anillo en el conjunto para obtener el anillo del cociente total . ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle S ^ {- 1} R = Q (R)}$

Si es un dominio , entonces y el anillo del cociente total es el mismo que el campo de fracciones. Esto justifica la notación , que a veces también se usa para el campo de fracciones, ya que no hay ambigüedad en el caso de un dominio. ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle S = R - \ {0 \}}$ ${\ Displaystyle Q (R)}$

Dado que en la construcción no contiene divisores de cero, el mapa natural es inyectivo, por lo que el anillo del cociente total es una extensión de . ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle R \ a Q (R)}$ ${\ displaystyle R}$

Ejemplos

Para un anillo de producto A × B , el anillo de cociente total Q ( A × B ) es el producto de los anillos de cociente total Q ( A ) × Q ( B ) . En particular, si A y B son dominios integrales, es el producto de campos de cocientes.

Para el anillo de funciones holomórficas en un conjunto abierto D de números complejos, el anillo del cociente total es el anillo de funciones meromórficas en D , incluso si D no está conectado.

En un anillo artiniano , todos los elementos son unidades o divisores cero. Por tanto, el conjunto de divisores distintos de cero es el grupo de unidades del anillo , y así . Pero ya que todos estos elementos ya tienen inversos, . ${\ Displaystyle R ^ {\ times}}$ ${\ Displaystyle Q (R) = (R ^ {\ times}) ^ {- 1} R}$ ${\ Displaystyle Q (R) = R}$

En un anillo R regular de von Neumann conmutativo , sucede lo mismo. Suponga que a en R no es un divisor de cero. Luego, en un anillo regular de von Neumann a = axa para alguna x en R , dando la ecuación a ( xa - 1) = 0. Como a no es un divisor de cero, xa = 1, mostrando a es una unidad. Aquí de nuevo . ${\ Displaystyle Q (R) = R}$

En geometría algebraica se considera un haz de anillos de cociente total en un esquema , y esto puede usarse para dar una posible definición de un divisor de Cartier .

El anillo total de fracciones de un anillo reducido.

Hay un hecho importante:

Proposición - Sea A un anillo reducido noetheriano con los ideales primos mínimos . Luego ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {1}, \ dots, {\ mathfrak {p}} _ {r}}$

{\ Displaystyle Q (A) \ simeq \ prod _ {1} ^ {r} Q (A / {\ mathfrak {p}} _ {i}).}

Geométricamente, es el esquema artiniano que consiste (como un conjunto finito) de los puntos genéricos de los componentes irreductibles de . ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (Q (A))}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (A)}$

Prueba: Cada elemento de Q ( A ) es una unidad o un divisor cero. Por lo tanto, cualquier ideal ideal I de Q ( A ) debe constar de zerodivisores. Dado que el conjunto de zerodivisors de Q ( A ) es la unión de los ideales mínimos primos como Q ( A ) es reducido , por evitación prime , I debe estar contenido en alguna . Por tanto, los ideales son los ideales máximos de Q ( A ), cuya intersección es cero. Por lo tanto, según el teorema del resto chino aplicado a Q ( A ), tenemos: ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} Q (A)}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} Q (A)}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} Q (A)}$

{\ Displaystyle Q (A) \ simeq \ prod _ {i} Q (A) / {\ mathfrak {p}} _ {i} Q (A)}

.

Finalmente, es el campo de residuos de . De hecho, escribiendo S para el conjunto multiplicativamente cerrado de no-zerodivisores, por la exactitud de la localización, ${\ Displaystyle Q (A) / {\ mathfrak {p}} _ {i} Q (A)}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}$

{\ Displaystyle Q (A) / {\ mathfrak {p}} _ {i} Q (A) = A [S ^ {- 1}] / {\ mathfrak {p}} _ {i} A [S ^ { -1}] = (A / {\ mathfrak {p}} _ {i}) [S ^ {- 1}]}

,

que ya es un campo y debe serlo . ${\ Displaystyle Q (A / {\ mathfrak {p}} _ {i})}$ ${\ Displaystyle \ cuadrado}$

Generalización

Si es un anillo conmutativo y es cualquier conjunto multiplicativa cerrado en , la localización todavía se puede construir, pero el homomorfismo de anillos de a podría no ser inyectiva. Por ejemplo, si , entonces es el anillo trivial. ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle S ^ {- 1} R}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle S ^ {- 1} R}$ ${\ Displaystyle 0 \ in S}$ ${\ Displaystyle S ^ {- 1} R}$

Citas

^ Matsumura 1980 , p. 12.
^ Matsumura 1989 , p. 21.

Referencias

Matsumura, Hideyuki (1980), álgebra conmutativa
Matsumura, Hideyuki (1989), teoría del anillo conmutativo

[FOOTNOTEMatsumura198012-1] Matsumura 1980 , p. 12.

[FOOTNOTEMatsumura198921-2] Matsumura 1989 , p. 21.

Languages

In other projects