Teorema de Tarski sobre la elección: Tarski's theorem about choice

En matemáticas , el teorema de Tarski , probado por Alfred Tarski  ( 1924 ), establece que en ZF el teorema "Para cada conjunto infinito , hay un mapa biyectivo entre los conjuntos y " implica el axioma de elección . Ya se conocía la dirección opuesta, por lo que el teorema y el axioma de elección son equivalentes.

Tarski le dijo a Jan Mycielski  ( 2006 ) que cuando intentó publicar el teorema en Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris, Fréchet y Lebesgue se negaron a presentarlo. Fréchet escribió que una implicación entre dos proposiciones bien conocidas no es un resultado nuevo. Lebesgue escribió que una implicación entre dos proposiciones falsas no tiene interés.

Prueba

El objetivo es demostrar que el axioma de elección está implícito en la declaración "para cada conjunto infinito : ". Se sabe que el teorema del buen orden es equivalente al axioma de elección; por tanto, basta con mostrar que el enunciado implica que para cada conjunto existe un orden de pozo .

Para conjuntos finitos, esto es trivial, por lo que asumimos que es infinito.

Dado que la colección de todos los ordinales tal que existe una función sobreyectiva de a ordinal es un conjunto, existe un ordinal mínimo distinto de cero , de modo que no hay función sobreyectiva de a . Asumimos sin pérdida de generalidad que los conjuntos y son inconexos . Según el supuesto inicial, existe una biyección .

Para todos , es imposible que , porque de lo contrario podríamos definir una función sobreyectiva de a . Por tanto, existe al menos un ordinal tal que , por tanto, el conjunto no está vacío.

Podemos definir una nueva función: . Esta función está bien definida ya que es un conjunto de ordinales no vacío, por lo que tiene un mínimo. Para todos los conjuntos y son inconexos. Por lo tanto, podemos definir un buen orden en , para cada que definamos , ya que la imagen de , es decir , es un conjunto de ordinales y por lo tanto está bien ordenada.

Referencias

  • Rubin, Herman; Rubin, Jean E. (1985), Equivalentes del axioma de elección II , Holanda del Norte / Elsevier, ISBN 0-444-87708-8
  • Mycielski, Jan (2006), "Un sistema de axiomas de teoría de conjuntos para los racionalistas" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 53 (2): 209
  • Tarski, A. (1924), "Sur quelques teoremas qui equivalente a l'axiome du choix" , Fundamenta Mathematicae , 5 : 147-154