Componentes simétricos - Symmetrical components

En ingeniería eléctrica , el método de componentes simétricos simplifica el análisis de sistemas de energía trifásicos desequilibrados tanto en condiciones normales como anormales. La idea básica es que un conjunto asimétrico de N fasores se puede expresar como una combinación lineal de N conjuntos simétricos de fasores mediante una transformación lineal compleja . El teorema de Fortescue (componentes simétricos) se basa en el principio de superposición , por lo que es aplicable solo a sistemas de potencia lineal o a aproximaciones lineales de sistemas de potencia no lineales.

En el caso más común de sistemas trifásicos, los componentes "simétricos" resultantes se denominan directos (o positivos ), inversos (o negativos ) y cero (u homopolares ). El análisis del sistema de potencia es mucho más simple en el dominio de los componentes simétricos, porque las ecuaciones resultantes son linealmente independientes entre sí si el circuito en sí está equilibrado .

Descripción

Conjunto de tres fasores desequilibrados y los componentes simétricos necesarios que suman el gráfico resultante en la parte inferior.

En 1918, Charles Legeyt Fortescue presentó un artículo que demostraba que cualquier conjunto de N fasores desequilibrados (es decir, cualquier señal polifásica ) podría expresarse como la suma de N conjuntos simétricos de fasores equilibrados, para valores de N que son primos. Los fasores representan solo un componente de frecuencia.

En 1943, Edith Clarke publicó un libro de texto que ofrece un método de uso de componentes simétricos para sistemas trifásicos que simplifica enormemente los cálculos con respecto al artículo original de Fortescue. En un sistema trifásico, un conjunto de fasores tiene la misma secuencia de fase que el sistema en estudio (secuencia positiva; digamos ABC), el segundo conjunto tiene la secuencia de fase inversa (secuencia negativa; ACB), y en el tercer conjunto el los fasores A, B y C están en fase entre sí (secuencia cero, la señal de modo común ). Esencialmente, este método convierte tres fases desequilibradas en tres fuentes independientes, lo que hace que el análisis asimétrico de fallas sea más manejable.

Al expandir un diagrama unifilar para mostrar la secuencia positiva, la secuencia negativa y las impedancias de secuencia cero de generadores , transformadores y otros dispositivos, incluidas líneas aéreas y cables , el análisis de condiciones de desequilibrio como una falla de cortocircuito de una sola línea a tierra es enorme simplificado. La técnica también se puede extender a sistemas de fase de orden superior.

Físicamente, en un sistema trifásico, un conjunto de corrientes de secuencia positiva produce un campo giratorio normal, un conjunto de secuencia negativa produce un campo con la rotación opuesta y el conjunto de secuencia cero produce un campo que oscila pero no gira entre los devanados de fase. Dado que estos efectos se pueden detectar físicamente con filtros de secuencia, la herramienta matemática se convirtió en la base para el diseño de relés de protección , que usaban tensiones y corrientes de secuencia negativa como un indicador confiable de las condiciones de falla. Estos relés se pueden utilizar para disparar interruptores automáticos o tomar otras medidas para proteger los sistemas eléctricos.

La técnica analítica fue adoptada y avanzada por ingenieros de General Electric y Westinghouse , y después de la Segunda Guerra Mundial se convirtió en un método aceptado para el análisis asimétrico de fallas.

Como se muestra en la figura de arriba a la derecha, los tres conjuntos de componentes simétricos (secuencia positiva, negativa y cero) se suman para crear el sistema de tres fases desequilibradas como se muestra en la parte inferior del diagrama. El desequilibrio entre fases surge debido a la diferencia de magnitud y al desplazamiento de fase entre los conjuntos de vectores. Observe que los colores (rojo, azul y amarillo) de los vectores de secuencia separados corresponden a tres fases diferentes (A, B y C, por ejemplo). Para llegar al gráfico final, se calcula la suma de vectores de cada fase. Este vector resultante es la representación fasorial efectiva de esa fase en particular. Este proceso, repetido, produce el fasor para cada una de las tres fases.

El caso trifásico

Los componentes simétricos se utilizan con mayor frecuencia para el análisis de sistemas de energía eléctrica trifásicos . El voltaje o la corriente de un sistema trifásico en algún punto se puede indicar mediante tres fasores, llamados los tres componentes del voltaje o la corriente.

Este artículo analiza el voltaje; sin embargo, las mismas consideraciones también se aplican a la corriente. En un sistema de energía trifásico perfectamente equilibrado, los componentes del fasor de voltaje tienen magnitudes iguales pero están separados 120 grados. En un sistema desequilibrado, las magnitudes y fases de los componentes del fasor de voltaje son diferentes.

La descomposición de los componentes del fasor de voltaje en un conjunto de componentes simétricos ayuda a analizar el sistema y a visualizar cualquier desequilibrio. Si los tres componentes de voltaje se expresan como fasores (que son números complejos), se puede formar un vector complejo en el que los componentes de tres fases son los componentes del vector. Un vector para componentes de voltaje trifásico se puede escribir como

${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {abc} = {\ begin {bmatrix} V_ {a} \\ V_ {b} \\ V_ {c} \ end {bmatrix}}}$

y descomponer el vector en tres componentes simétricos da

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} V_ {a} \\ V_ {b} \\ V_ {c} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} V_ {a, 0} \\ V_ {b, 0} \\ V_ {c, 0} \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} V_ {a, 1} \\ V_ {b, 1} \\ V_ {c, 1} \ end {bmatrix} } + {\ begin {bmatrix} V_ {a, 2} \\ V_ {b, 2} \\ V_ {c, 2} \ end {bmatrix}}}$

donde los subíndices 0, 1 y 2 se refieren respectivamente a los componentes de secuencia cero, positiva y negativa. Los componentes de la secuencia difieren solo por sus ángulos de fase, que son simétricos y también lo son en radianes o 120 °. ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ frac {2} {3}} \ pi}$

Una matriz

Defina un operador de rotación fasorial , que rota un vector fasorial en sentido antihorario 120 grados cuando se multiplica por él: ${\ Displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle \ alpha \ equiv e ^ {{\ frac {2} {3}} \ pi i}}$.

Tenga en cuenta eso para que . ${\ Displaystyle \ alpha ^ {3} = 1}$${\ Displaystyle \ alpha ^ {- 1} = \ alpha ^ {2}}$

Los componentes de secuencia cero tienen la misma magnitud y están en fase entre sí, por lo tanto:

${\ Displaystyle V_ {0} \ equiv V_ {a, 0} = V_ {b, 0} = V_ {c, 0}}$,

y los otros componentes de la secuencia tienen la misma magnitud, pero sus ángulos de fase difieren en 120 °. Si el conjunto de fasores de voltaje desequilibrado original tiene una secuencia de fase positiva o abc , entonces:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} V_ {1} & \ equiv V_ {a, 1} = \ alpha V_ {b, 1} = \ alpha ^ {2} V_ {c, 1} \ end {alineado}} }$,

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} V_ {2} & \ equiv V_ {a, 2} = \ alpha ^ {2} V_ {b, 2} = \ alpha V_ {c, 2} \ end {alineado}} }$,

significa que

${\ displaystyle {\ begin {alineado} V_ {b, 1} = \ alpha ^ {2} V_ {1} \ end {alineado}}}$,

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} V_ {c, 1} = \ alpha V_ {1} \ end {alineado}}}$,

${\ displaystyle {\ begin {alineado} V_ {b, 2} = \ alpha V_ {2} \ end {alineado}}}$,

${\ displaystyle {\ begin {alineado} V_ {c, 2} = \ alpha ^ {2} V_ {2} \ end {alineado}}}$.

Por lo tanto,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {v} _ {abc} & = {\ begin {bmatrix} V_ {0} \\ V_ {0} \\ V_ {0} \ end {bmatrix}} + { \ begin {bmatrix} V_ {1} \\\ alpha ^ {2} V_ {1} \\\ alpha V_ {1} \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} V_ {2} \\\ alpha V_ {2} \\\ alpha ^ {2} V_ {2} \ end {bmatrix}} \\ & = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \ alpha ^ {2} & \ alpha \\ 1 & \ alpha & \ alpha ^ {2} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} V_ {0} \\ V_ {1} \\ V_ {2} \ end {bmatrix}} \\ & = {\ textbf {A }} \ mathbf {v} _ {012} \ end {alineado}}}$

dónde

${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {012} = {\ begin {bmatrix} V_ {0} \\ V_ {1} \\ V_ {2} \ end {bmatrix}}, {\ textbf {A}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \ alpha ^ {2} & \ alpha \\ 1 & \ alpha & \ alpha ^ {2} \ end {bmatrix}}}$

Si, en cambio, el conjunto de fasores de voltaje desequilibrado original tiene una secuencia de fase negativa o acb , la siguiente matriz puede derivarse de manera similar:

${\ displaystyle {\ textbf {A}} _ {acb} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \ alpha & \ alpha ^ {2} \\ 1 & \ alpha ^ {2} & \ alpha \ end {bmatrix }}}$

Descomposición

Los componentes de la secuencia se derivan de la ecuación de análisis.

${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {012} = {\ textbf {A}} ^ {- 1} \ mathbf {v} _ {abc}}$

dónde

${\ displaystyle {\ textbf {A}} ^ {- 1} = {\ frac {1} {3}} {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \ alpha & \ alpha ^ {2} \\ 1 & \ alpha ^ {2} & \ alpha \ end {bmatrix}}}$

Las dos ecuaciones anteriores indican cómo derivar componentes simétricos correspondientes a un conjunto asimétrico de tres fasores:

• La secuencia 0 es un tercio de la suma de los tres fasores originales.
• La secuencia 1 es un tercio de la suma de los tres fasores originales girados en sentido antihorario 0 °, 120 ° y 240 °.
• La secuencia 2 es un tercio de la suma de los tres fasores originales girados en sentido antihorario 0 °, 240 ° y 120 °.

Visualmente, si los componentes originales son simétricos, las secuencias 0 y 2 formarán cada una un triángulo, sumando cero, y los componentes de la secuencia 1 sumarán una línea recta.

Intuición

Teorema de Napoleón: si los triángulos centrados en L , M y N son equiláteros, entonces también lo es el triángulo verde.

Los fasores forman un triángulo cerrado (por ejemplo, voltajes externos o voltajes de línea a línea). Para encontrar los componentes síncronos e inversos de las fases, toma cualquier lado del triángulo exterior y dibuja los dos posibles triángulos equiláteros que comparten el lado seleccionado como base. Estos dos triángulos equiláteros representan un sistema sincrónico e inverso. ${\ Displaystyle \ scriptstyle V _ {(ab)} = V _ {(a)} - V _ {(b)}; \; V _ {(bc)} = V _ {(b)} - V _ {(c)}; \ ; V _ {(ca)} = V _ {(c)} - V _ {(a)}}$

Si los fasores V fueran un sistema perfectamente sincrónico, el vértice del triángulo exterior que no está en la línea de base estaría en la misma posición que el vértice correspondiente del triángulo equilátero que representa el sistema sincrónico. Cualquier cantidad de componente inverso significaría una desviación de esta posición. La desviación es exactamente 3 veces el componente de fase inversa.

El componente sincrónico es de la misma manera 3 veces la desviación del "triángulo equilátero inverso". Las direcciones de estos componentes son correctas para la fase relevante. Parece contrario a la intuición que esto funcione para las tres fases independientemente del lado elegido, pero esa es la belleza de esta ilustración. El gráfico es del Teorema de Napoleón , que coincide con una técnica de cálculo gráfico que a veces aparece en libros de referencias más antiguos.

Caja polifásica

Se puede ver que la matriz de transformación anterior es una transformada de Fourier discreta y, como tal, los componentes simétricos se pueden calcular para cualquier sistema polifásico.

Contribución de armónicos a componentes simétricos en sistemas eléctricos trifásicos

Los armónicos se producen a menudo en los sistemas de potencia como consecuencia de cargas no lineales. Cada orden de armónicos contribuye a diferentes componentes de secuencia. Los fundamentales y armónicos de orden contribuirán al componente de secuencia positiva. Los armónicos de orden contribuirán a la secuencia negativa. Los armónicos de orden contribuyen a la secuencia cero. ${\ Displaystyle \ scriptstyle 3n + 1}$${\ Displaystyle \ scriptstyle 3n-1}$${\ Displaystyle \ scriptstyle 3n}$

Tenga en cuenta que las reglas anteriores solo son aplicables si los valores de fase (o distorsión) en cada fase son exactamente iguales. Tenga en cuenta además que incluso los armónicos no son comunes en los sistemas de energía.

Consecuencia del componente de secuencia cero en los sistemas eléctricos

La secuencia cero representa el componente de los fasores desequilibrados que es igual en magnitud y fase. Debido a que están en fase, las corrientes de secuencia cero que fluyen a través de una red de n fases sumarán n veces la magnitud de los componentes individuales de las corrientes de secuencia cero. En condiciones normales de funcionamiento, esta suma es lo suficientemente pequeña como para ser insignificante. Sin embargo, durante eventos grandes de secuencia cero, como rayos, esta suma de corrientes distinta de cero puede conducir a que fluya una corriente mayor a través del conductor neutro que los conductores de fase individuales. Debido a que los conductores neutros no suelen ser más grandes que los conductores de fase individual y, a menudo, son más pequeños que estos conductores, un componente de secuencia cero grande puede provocar el sobrecalentamiento de los conductores neutros y provocar incendios.

Una forma de evitar grandes corrientes de secuencia cero es utilizar una conexión delta, que aparece como un circuito abierto a las corrientes de secuencia cero. Por esta razón, la mayor parte de las transmisiones y muchas subtransmisiones se implementan utilizando delta. Gran parte de la distribución también se implementa utilizando delta, aunque los sistemas de distribución de "trabajo antiguo" ocasionalmente han sido "wyed-up" (convertidos de delta a wye ) para aumentar la capacidad de la línea a un bajo costo de conversión, pero a expensas de un costo mayor. costo del relé de protección de la estación central.

Ver también

• Simetría
• Transformación dqo
• Transformación alfa-beta

Referencias

Notas

Bibliografía

• J. Lewis Blackburn Symmetrical Components for Power Systems Engineering , Marcel Dekker, Nueva York (1993). ISBN  0-8247-8767-6
• William D. Stevenson, Jr. Elementos del análisis de sistemas de potencia, tercera edición , McGraw-Hill , Nueva York (1975). ISBN  0-07-061285-4 .
• Artículo histórico de IEEE sobre el desarrollo temprano de componentes simétricos, consultado el 12 de mayo de 2005.
• Westinghouse Corporation, Applied Protective Relaying , 1976, Westinghouse Corporation, sin ISBN, tarjeta de la Biblioteca del Congreso núm. 76-8060 - una referencia estándar sobre relés de protección electromecánicos