Norma uniforme - Uniform norm

El perímetro del cuadrado es el conjunto de puntos en R ² donde la norma sup es igual a una constante positiva fija. Por ejemplo, los puntos (2, 0) , (2, 1) y (2, 2) se encuentran a lo largo del perímetro de un cuadrado y pertenecen al conjunto de vectores cuya norma sup es 2.

En análisis matemático , la norma uniforme (o norma sup ) asigna a real o complejos -valued funciones acotadas f definida en un conjunto S el número no negativo

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ | f \ | _ {\ infty, S} = \ sup \ left \ {\, \ left | f (x) \ right |: x \ en S \,\Derecha\}.}$

Esta norma es también llamada la norma del supremo, la norma de Chebyshev, la norma infinito, o bien, cuando el supremo es, de hecho, el máximo, la norma del máximo . El nombre "norma uniforme" se deriva del hecho de que una secuencia de funciones converge por debajo de la métrica derivada de la norma uniforme si y solo si converge a uniformemente . ${\ Displaystyle \ {f_ {n} \}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f_ {n}}$${\ Displaystyle f}$

La métrica generada por esta norma se llama métrica de Chebyshev , en honor a Pafnuty Chebyshev , quien fue el primero en estudiarla sistemáticamente.

Si permitimos funciones ilimitadas, esta fórmula no produce una norma o métrica en sentido estricto, aunque la llamada métrica extendida obtenida todavía permite definir una topología en el espacio funcional en cuestión.

Si f es una función continua en un intervalo cerrado , o más generalmente un compacto conjunto, entonces es limitada y el extremo superior en la definición anterior se consigue mediante la Weierstrass valor extremo teorema , así que podemos reemplazar el supremo por el máximo. En este caso, la norma también se llama norma máxima . En particular, si es algún vector tal que en un espacio de coordenadas de dimensión finita , toma la forma: ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$

$${\ Displaystyle \ | x \ | _ {\ infty}: = \ max \ left (\ left | x_ {1} \ right |, \ ldots, \ left | x_ {n} \ right | \ right).}$$

El conjunto de vectores cuya norma de infinito es una constante dada, c , forma la superficie de un hipercubo con una longitud de borde 2 c .

La razón del subíndice "∞" es que siempre que f es continua

${\ Displaystyle \ lim _ {p \ rightarrow \ infty} \ | f \ | _ {p} = \ | f \ | _ {\ infty},}$

dónde

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ left (\ int _ {D} \ left | f \ right | ^ {p} \, d \ mu \ right) ^ {1 / p}}$

donde D es el dominio de f (y la integral equivale a una suma si D es un conjunto discreto ).

La función binaria

${\ Displaystyle d (f, g) = \ | fg \ | _ {\ infty}}$

es entonces una métrica en el espacio de todas las funciones limitadas (y, obviamente, cualquiera de sus subconjuntos) en un dominio particular. Una secuencia { f _n  : n = 1, 2, 3, ...} converge uniformemente a una función f si y solo si

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ | f_ {n} -f \ | _ {\ infty} = 0. \,}$

Podemos definir conjuntos cerrados y cierres de conjuntos con respecto a esta topología métrica; Los conjuntos cerrados en la norma uniforme a veces se denominan cierres uniformemente cerrados y cierres cierres uniformes . El cierre uniforme de un conjunto de funciones A es el espacio de todas las funciones que pueden aproximarse mediante una secuencia de funciones convergentes uniformemente en A. Por ejemplo, una reformulación del teorema de Stone-Weierstrass es que el conjunto de todas las funciones continuas en es el cierre uniforme del conjunto de polinomios en . ${\ Displaystyle [a, b]}$${\ Displaystyle [a, b]}$

Para funciones continuas complejas en un espacio compacto, esto lo convierte en un álgebra C * .

Ver también

• Continuidad uniforme
• Espacio uniforme
• Distancia de Chebyshev

Referencias