Transitividad estocástica - Stochastic transitivity

Los modelos de transitividad estocástica son versiones estocásticas de la propiedad de transitividad de las relaciones binarias estudiadas en matemáticas . Existen varios modelos de transitividad estocástica y se han utilizado para describir las probabilidades involucradas en experimentos de comparaciones pareadas , específicamente en escenarios donde se espera la transitividad, sin embargo, las observaciones empíricas de la relación binaria son probabilísticas. Por ejemplo, se puede esperar que las habilidades de los jugadores en un deporte sean transitivas, es decir, "si el jugador A es mejor que B y B es mejor que C, entonces el jugador A debe ser mejor que C"; sin embargo, en cualquier partido, un jugador más débil podría terminar ganando con una probabilidad positiva. Los jugadores estrechamente emparejados pueden tener una mayor probabilidad de observar esta inversión, mientras que los jugadores con grandes diferencias en sus habilidades solo pueden ver que estas inversiones suceden raras veces. Los modelos de transitividad estocástica formalizan tales relaciones entre las probabilidades (por ejemplo, de un resultado de un partido) y la relación transitiva subyacente (por ejemplo, las habilidades de los jugadores).

Una relación binaria en un conjunto se llama transitiva , en el sentido estándar no estocástico , si e implica para todos los miembros de . ${\ textstyle \ succsim}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle a \ succsim b}$${\ Displaystyle b \ succsim c}$${\ Displaystyle a \ succsim c}$${\ Displaystyle a, b, c}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Las versiones estocásticas incluyen de transitividad:

1. Transitividad estocástica débil (WST): e implica , para todos ; ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (a \ succsim b) \ geq {\ tfrac {1} {2}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} (b \ succsim c) \ geq {\ tfrac {1} {2}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} (a \ succsim c) \ geq {\ tfrac {1} {2}}}$${\ Displaystyle a, b, c \ in {\ mathcal {A}}}$
2. Transitividad estocástica fuerte (SST): e implica , para todos ; ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (a \ succsim b) \ geq {\ tfrac {1} {2}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} (b \ succsim c) \ geq {\ tfrac {1} {2}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} (a \ succsim c) \ geq \ max \ {\ mathbb {P} (a \ succsim b), \ mathbb {P} (b \ succsim c) \}}$${\ Displaystyle a, b, c \ in {\ mathcal {A}}}$
3. Transitividad estocástica lineal (LST):, para todos , donde es una función creciente y simétrica (llamada función de comparación ), y es una asignación del conjunto de alternativas a la línea real (llamada función de mérito ). ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (a \ succsim b) = F (\ mu (a) - \ mu (b))}$${\ Displaystyle a, b \ in {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle F: \ mathbb {R} \ a [0,1]}$${\ Displaystyle \ mu: {\ mathcal {A}} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Un ejemplo de juguete

El juego de las canicas: supongamos que dos niños, Billy y Gabriela, recogen canicas. Billy recoge canicas azules y canicas verdes de Gabriela. Cuando se juntan, juegan un juego en el que mezclan todas sus canicas en una bolsa y prueban una al azar. Si la canica de la muestra es verde, Gabriela gana y si es azul, Billy gana. Si es el número de canicas azules y es el número de canicas verdes en la bolsa, entonces la probabilidad de que Billy gane contra Gabriela es ${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ({\ text {Billy}} \ succsim {\ text {Gabriela}})}$

${\ Displaystyle \ mathbb {P} ({\ text {Billy}} \ succsim {\ text {Gabriela}}) = {\ frac {B} {B + G}} = {\ frac {e ^ {\ ln ( B)}} {e ^ {\ ln (B)} + e ^ {\ ln (G)}}} = {\ frac {1} {1 + e ^ {\ ln (G) - \ ln (B) }}}}$ .

En este ejemplo, el juego de canicas satisface la transitividad estocástica lineal, donde la función de comparación está dada por y la función de mérito está dada por , donde es el número de canicas del jugador. Este juego resulta ser un ejemplo de un modelo de Bradley-Terry . ${\ Displaystyle F: \ mathbb {R} \ a [0,1]}$${\ Displaystyle F (x) = {\ frac {1} {1 + e ^ {- x}}}}$${\ Displaystyle \ mu: {\ mathcal {A}} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mu (M) = \ ln (M)}$${\ Displaystyle M}$

Aplicaciones

• Clasificación y clasificación : los modelos de transitividad estocástica se han utilizado como base de varios métodos de clasificación y clasificación. Los ejemplos incluyen el sistema Elo-Rating utilizado en ajedrez, go y otros deportes clásicos, así como TrueSkill de Microsoft utilizado para la plataforma de juegos Xbox.
• Modelos de psicología y racionalidad : los modelos de Thurston (ver el caso 5 en la ley del juicio comparativo ), los modelos de Fechner y también el axioma de elección de Luce son teorías que se basan en las matemáticas de la transitividad estocástica. Además, los modelos de la teoría de la elección racional se basan en el supuesto de la transitividad de las preferencias (véase la utilidad de Von Neumann y los teoremas de Debreu ); estas preferencias, sin embargo, a menudo se revelan con ruido de una manera estocástica.
• Aprendizaje automático e inteligencia artificial (consulte Aprender a clasificar ) : mientras que Elo y TrueSkill se basan en modelos LST específicos, los modelos de aprendizaje automático se han desarrollado para clasificar sin conocimiento previo del modelo de transitividad estocástica subyacente o bajo suposiciones más débiles de lo habitual sobre la transitividad estocástica. También es interesante aprender de las comparaciones emparejadas, ya que permite que los agentes de IA aprendan las preferencias subyacentes de otros agentes.
• Teoría del juego : la equidad de los torneos eliminatorios aleatorios depende en gran medida del modelo de transitividad estocástica subyacente. La teoría de la elección social también tiene fundamentos que dependen de modelos de transitividad estocástica.

Conexiones entre modelos

Resultados positivos:

1. Todo modelo que satisfaga la transitividad estocástica lineal también debe satisfacer la transitividad estocástica fuerte, que a su vez debe satisfacer la transitividad estocástica débil. Esto se representa como: LST SST WST ${\ Displaystyle \ implica}$${\ Displaystyle \ implica}$  ;
2. Dado que los modelos Bradeley-Terry y el modelo Thurstanian 5 son modelos LST , también satisfacen SST y WST ;
3. Debido a la conveniencia de modelos más estructurados , algunos autores han identificado justificaciones axiomáticas de la transitividad estocástica lineal (y otros modelos), en particular Gérard Debreu mostró que: Condición cuádruple + Continuidad LST ${\ Displaystyle \ implica}$ (ver también Teoremas de Debreu );
4. Dos modelos LST dados por funciones de comparación invertibles y son equivalentes si y solo si para algunos ${\ Displaystyle F (x)}$${\ Displaystyle G (x)}$${\ Displaystyle F (x) = G (\ kappa x)}$${\ Displaystyle \ kappa \ geq 0.}$

Resultados negativos:

1. Los modelos de transitividad estocástica son empíricamente inverificables , sin embargo, pueden ser falsables;
2. Distinguir entre funciones de comparación LST y puede ser imposible incluso si se proporciona una cantidad infinita de datos sobre un número finito de puntos ; ${\ Displaystyle F (x)}$${\ Displaystyle G (x)}$
3. El problema de estimación para los modelos WST , SST y LST es en general NP-Hard , sin embargo, se conocen procedimientos de estimación casi óptimos que se pueden calcular polinomialmente para los modelos SST y LST .

Ver también

• Juego no transitivo
• Teoría de la decisión
• Utilitarismo

Referencias