Dominio estocástico - Stochastic dominance

La dominancia estocástica es un orden parcial entre variables aleatorias . Es una forma de ordenamiento estocástico . El concepto surge en la teoría de la decisión y el análisis de decisiones en situaciones en las que una apuesta (una distribución de probabilidad sobre los posibles resultados, también conocida como prospectos) puede clasificarse como superior a otra apuesta para una amplia clase de tomadores de decisiones. Se basa en preferencias compartidas con respecto a conjuntos de posibles resultados y sus probabilidades asociadas. Solo se requiere un conocimiento limitado de las preferencias para determinar el dominio. La aversión al riesgo es un factor solo en el dominio estocástico de segundo orden.

El dominio estocástico no da un orden total , sino sólo un orden parcial : para algunos pares de juegos, ninguno domina estocásticamente al otro, ya que los diferentes miembros de la amplia clase de tomadores de decisiones diferirán en cuanto a qué juego es preferible sin ellos en general. siendo considerado igualmente atractivo.

Dominio estatal

El caso más simple de dominio estocástico es el dominio estatal (también conocido como dominio estado por estado ), definido de la siguiente manera:

La variable aleatoria A es estatalmente dominante sobre la variable aleatoria B si A da al menos un resultado tan bueno en cada estado (cada conjunto posible de resultados), y un resultado estrictamente mejor en al menos un estado.

Por ejemplo, si se agrega un dólar a uno o más premios en una lotería, la nueva lotería a nivel estatal domina a la anterior porque produce un mejor pago independientemente de los números específicos obtenidos por la lotería. Del mismo modo, si una póliza de seguro contra riesgos tiene una prima más baja y una mejor cobertura que otra póliza, con o sin daños, el resultado es mejor. Cualquiera que prefiera más a menos (en la terminología estándar, cualquiera que tenga preferencias que aumentan monótonamente ) siempre preferirá una apuesta dominante estatal.

Primer orden

El dominio estatal es un caso especial del dominio estocástico de primer orden canónico (FSD) , que se define como:

La variable aleatoria A tiene un dominio estocástico de primer orden sobre la variable aleatoria B si para cualquier resultado x , A da al menos una probabilidad tan alta de recibir al menos x como lo hace B, y para algún x , A da una probabilidad más alta de recibir al menos x . En forma de notación, para toda x , y para algunos x , .${\ Displaystyle P [A \ geq x] \ geq P [B \ geq x]}$${\ Displaystyle P [A> x]> P [B> x]}$

En términos de las funciones de distribución acumuladas de las dos variables aleatorias, A dominando B significa que para todo x , con desigualdad estricta en algún  x . ${\ Displaystyle F_ {A} (x) \ leq F_ {B} (x)}$

El juego A de primer orden domina estocásticamente el juego B si y solo si cada maximizador de utilidad esperado con una función de utilidad creciente prefiere el juego A sobre el juego B.

De primer orden dominancia estocástica también se puede expresar como sigue: Si y sólo si A de primer orden domina estocásticamente B, existe algún juego de azar tal que donde en todos los estados posibles (y estrictamente negativa en al menos un estado); aquí significa " es igual en distribución a " (es decir, "tiene la misma distribución que"). Por lo tanto, podemos pasar de la función de densidad graficada de A a la de B, en términos generales, empujando parte de la masa de probabilidad hacia la izquierda. ${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle x_ {B} {\ overset {d} {=}} (x_ {A} + y)}$${\ Displaystyle y \ leq 0}$${\ Displaystyle {\ overset {d} {=}}}$

Por ejemplo, considere un solo lanzamiento de un dado justo con los seis posibles resultados (estados) resumidos en esta tabla junto con la cantidad ganada en cada estado por cada una de las tres apuestas alternativas:

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcccccc} {\ text {State (die result)}} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\ hline {\ text {Gamble A gana}} \ $ & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ {\ text {Gamble B gana} } \ $ & 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 \\ {\ text {Gamble C gana}} \ $ & 3 & 3 & 3 & 1 & 1 & 1 \\\ hline \ end {array}}}$

Aquí, el juego A domina a nivel estatal el juego B porque A da al menos un rendimiento tan bueno en todos los estados posibles (resultados de la tirada del dado) y da un rendimiento estrictamente mejor en uno de ellos (estado 3). Dado que A domina a B en el estado, también domina a B de primer orden. El juego C no domina a B en el estado porque B da un mejor rendimiento en los estados 4 a 6, pero C de primer orden domina estocásticamente a B porque Pr (B ≥ 1) = Pr (C ≥ 1) = 1, Pr (B ≥ 2) = Pr (C ≥ 2) = 3/6 y Pr (B ≥ 3) = 0 mientras que Pr (C ≥ 3) = 3/6> Pr (B ≥ 3). Las apuestas A y C no se pueden ordenar entre sí sobre la base de la dominancia estocástica de primer orden porque Pr (A ≥ 2) = 4/6> Pr (C ≥ 2) = 3/6 mientras que, por otro lado, Pr (C ≥ 3) = 3/6> Pr (A ≥ 3) = 0.

En general, aunque cuando una apuesta de primer orden domina estocásticamente una segunda apuesta, el valor esperado de la recompensa en la primera será mayor que el valor esperado de la recompensa en la segunda, lo contrario no es cierto: no se pueden ordenar loterías con respecto a la dominancia estocástica simplemente comparando las medias de sus distribuciones de probabilidad. Por ejemplo, en el ejemplo anterior, C tiene una media más alta (2) que A (5/3), pero C no domina A. de primer orden.

Segundo orden

El otro tipo de dominancia estocástica comúnmente utilizado es la dominancia estocástica de segundo orden . En términos generales, para dos apuestas y , la apuesta tiene un dominio estocástico de segundo orden sobre la apuesta si la primera es más predecible (es decir, implica menos riesgo) y tiene al menos una media tan alta. Todos los maximizadores de la utilidad esperada reacios al riesgo (es decir, aquellos con funciones de utilidad crecientes y cóncavas) prefieren una apuesta estocásticamente dominante de segundo orden a una dominada. El dominio de segundo orden describe las preferencias compartidas de una clase más pequeña de tomadores de decisiones (aquellos para quienes más es mejor y quienes son reacios al riesgo, en lugar de todos aquellos para quienes más es mejor) que el dominio de primer orden. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

En términos de funciones de distribución acumulativas y , es estocásticamente dominante de segundo orden sobre si y solo si el área inferior desde menos infinito hasta es menor o igual a la inferior desde menos infinito hasta para todos los números reales , con estricta desigualdad en algunos ; es decir, para todos , con estricta desigualdad en algunos . De manera equivalente, domina en el segundo orden si y solo si para todas las funciones de utilidad cóncavas y no decrecientes . ${\ Displaystyle F_ {A}}$${\ Displaystyle F_ {B}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle F_ {A}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle F_ {B}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {x} [F_ {B} (t) -F_ {A} (t)] \, dt \ geq 0}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ operatorname {E} [u (A)] \ geq \ operatorname {E} [u (B)]}$${\ Displaystyle u (x)}$

La dominancia estocástica de segundo orden también se puede expresar de la siguiente manera: Apuesta estocásticamente de segundo orden domina si y solo si existen algunas apuestas y tal que , con siempre menor o igual a cero, y con para todos los valores de . Aquí, la introducción de la variable aleatoria hace que los de primer orden estén dominados estocásticamente por (haciendo que no les guste a quienes tienen una función de utilidad creciente), y la introducción de una variable aleatoria introduce una extensión de preservación de la media en la que no les gusta a quienes tienen una utilidad cóncava. Tenga en cuenta que si y tienen la misma media (de modo que la variable aleatoria degenera en el número fijo 0), entonces es una extensión que conserva la media de . ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle x_ {B} {\ overset {d} {=}} (x_ {A} + y + z)}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle \ operatorname {E} (z \ mid x_ {A} + y) = 0}$${\ Displaystyle x_ {A} + y}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$

Condiciones suficientes para el dominio estocástico de segundo orden

• De primer orden dominancia estocástica de A sobre B es una condición suficiente para segundo orden predominio de A sobre B .
• Si B es una extensión de A que conserva la media , entonces A domina estocásticamente a B de segundo orden .

Condiciones necesarias para la dominancia estocástica de segundo orden

• ${\ Displaystyle \ operatorname {E} _ {A} (x) \ geq \ operatorname {E} _ {B} (x)}$es una condición necesaria para que A domine estocásticamente a B de segundo orden .
• ${\ Displaystyle \ min _ {A} (x) \ geq \ min _ {B} (x)}$es una condición necesaria para que A domine a B de segundo orden . La condición implica que la cola izquierda de debe ser más gruesa que la cola izquierda de .${\ Displaystyle F_ {B}}$${\ Displaystyle F_ {A}}$

Tercer orden

Sean y las funciones de distribución acumulativas de dos inversiones distintas y . domina en el tercer orden si y solo si ${\ Displaystyle F_ {A}}$${\ Displaystyle F_ {B}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

• ${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {x} \ int _ {- \ infty} ^ {z} [F_ {B} (t) -F_ {A} (t)] \, dt \, dz \ geq 0 {\ text {para todos}} x,}$
• ${\ Displaystyle \ operatorname {E} _ {A} (x) \ geq \ operatorname {E} _ {B} (x), \,}$

y hay al menos una desigualdad estricta. De manera equivalente, domina en el tercer orden si y solo si para todas las funciones de utilidad cóncavas no decrecientes que están sesgadas positivamente (es decir, tienen una tercera derivada positiva en todas partes). ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ operatorname {E} _ {A} U (x) \ geq \ operatorname {E} _ {B} U (x)}$${\ Displaystyle U}$

Condición suficiente

• El dominio de segundo orden es una condición suficiente.

Condiciones necesarias

• ${\ Displaystyle \ operatorname {E} _ {A} (\ log (x)) \ geq \ operatorname {E} _ {B} (\ log (x))}$es una condición necesaria. La condición implica que la media geométrica de debe ser mayor o igual que la media geométrica de .${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$
• ${\ Displaystyle \ min _ {A} (x) \ geq \ min _ {B} (x)}$es una condición necesaria. La condición implica que la cola izquierda de debe ser más gruesa que la cola izquierda de .${\ Displaystyle F_ {B}}$${\ Displaystyle F_ {A}}$

Orden superior

También se han analizado los órdenes superiores de dominancia estocástica, al igual que las generalizaciones de la relación dual entre los ordenamientos de dominancia estocástica y las clases de funciones de preferencia. Podría decirse que el criterio de dominio más poderoso se basa en el supuesto económico aceptado de una disminución de la aversión absoluta al riesgo . Esto implica varios desafíos analíticos y un esfuerzo de investigación está en camino para abordarlos.

Restricciones

Las relaciones de dominancia estocástica pueden usarse como restricciones en problemas de optimización matemática , en particular programación estocástica . En un problema de maximizar un funcional real sobre variables aleatorias en un conjunto, podemos requerir adicionalmente que domine estocásticamente un punto de referencia aleatorio fijo . En estos problemas, las funciones de utilidad juegan el papel de multiplicadores de Lagrange asociados con las restricciones de dominancia estocástica. En condiciones apropiadas, la solución del problema es también una solución (posiblemente local) del problema de maximizar sobre en , donde es una función de utilidad cierto. Si se emplea la restricción de dominancia estocástica de primer orden, la función de utilidad no es decreciente ; si se utiliza la restricción de dominancia estocástica de segundo orden, es cóncava y no decreciente . Un sistema de ecuaciones lineales puede probar si una solución dada es eficiente para cualquier función de utilidad. Las restricciones de dominancia estocástica de tercer orden pueden tratarse utilizando programación convexa con restricciones cuadráticas (QCP). ${\ Displaystyle f (X)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X_ {0}}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle f (X) + \ operatorname {E} [u (X) -u (B)]}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X_ {0}}$${\ Displaystyle u (x)}$${\ Displaystyle u (x)}$${\ Displaystyle u (x)}$

Ver también

• Teoría moderna de la cartera
• Dominio estocástico condicional marginal
• Extensión de conjunto receptiva : equivalente a la dominancia estocástica en el contexto de las relaciones de preferencia.
• Catalizador cuántico

Referencias