Superficie romana - Roman surface

La superficie romana o superficie Steiner es un mapeo auto-intersectado del plano proyectivo real en un espacio tridimensional, con un grado de simetría inusualmente alto . Este mapeo no es una inmersión del plano proyectivo; sin embargo, la cifra resultante de eliminar seis puntos singulares es uno. Su nombre surge porque fue descubierto por Jakob Steiner cuando estaba en Roma en 1844.

La construcción más simple es como la imagen de una esfera centrada en el origen debajo del mapa . Esto da una fórmula implícita de ${\ Displaystyle f (x, y, z) = (yz, xz, xy)}$

${\ Displaystyle x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {2} z ^ {2} + z ^ {2} x ^ {2} -r ^ {2} xyz = 0. \,}$

Además, tomando una parametrización de la esfera en términos de longitud (θ) y latitud (φ), se obtienen ecuaciones paramétricas para la superficie romana de la siguiente manera:

${\ Displaystyle x = r ^ {2} \ cos \ theta \ cos \ varphi \ sin \ varphi}$

${\ Displaystyle y = r ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ varphi \ sin \ varphi}$

${\ Displaystyle z = r ^ {2} \ cos \ theta \ sin \ theta \ cos ^ {2} \ varphi}$

El origen es un punto triple, y cada uno de los planos xy -, yz - y xz son tangenciales a la superficie allí. Los otros lugares de auto-intersección son puntos dobles, que definen segmentos a lo largo de cada eje de coordenadas que terminan en seis puntos de pellizco. Toda la superficie tiene simetría tetraédrica . Es un tipo particular (llamado tipo 1) de superficie Steiner, es decir, una proyección lineal tridimensional de la superficie Veronese .

Derivación de fórmula implícita

Por simplicidad, consideramos solo el caso r = 1. Dada la esfera definida por los puntos ( x , y , z ) tal que

${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1, \,}$

aplicamos a estos puntos la transformación T definida por say. ${\ Displaystyle T (x, y, z) = (yz, zx, xy) = (U, V, W), \,}$

Pero luego tenemos

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} U ^ {2} V ^ {2} + V ^ {2} W ^ {2} + W ^ {2} U ^ {2} & = z ^ {2} x ^ {2} y ^ {4} + x ^ {2} y ^ {2} z ^ {4} + y ^ {2} z ^ {2} x ^ {4} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) (x ^ {2} y ^ {2} z ^ {2}) \\ [8pt] & = (1) (x ^ {2} y ^ {2} z ^ {2}) = (xy) (yz) (zx) = UVW, \ end {alineado}}}$

y así como se desee. ${\ Displaystyle U ^ {2} V ^ {2} + V ^ {2} W ^ {2} + W ^ {2} U ^ {2} -UVW = 0 \,}$

A la inversa , suponga que se nos da ( U , V , W ) satisfaciendo

(*) ${\ Displaystyle U ^ {2} V ^ {2} + V ^ {2} W ^ {2} + W ^ {2} U ^ {2} -UVW = 0. \,}$

Demostramos que existe ( x , y , z ) tal que

(**) ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1, \,}$

para cual ${\ Displaystyle U = xy, V = yz, W = zx, \,}$

con una excepción: en el caso 3.b. a continuación, mostramos que esto no se puede probar.

1. En el caso de que ninguno de U , V , W sea ​​0, podemos establecer

${\ Displaystyle x = {\ sqrt {\ frac {WU} {V}}}, \ y = {\ sqrt {\ frac {UV} {W}}}, \ z = {\ sqrt {\ frac {VW} {U}}}. \,}$

(Tenga en cuenta que (*) garantiza que los tres de U, V, W son positivos o, de lo contrario, exactamente dos son negativos. Por lo tanto, estas raíces cuadradas son de números positivos).

Es fácil de usar (*) para confirmar que (**) se cumple para x , y , z definidos de esta manera.

2. Suponga que W es 0. De (*) esto implica${\ Displaystyle U ^ {2} V ^ {2} = 0 \,}$

y por lo tanto al menos uno de U , V también debe ser 0. Esto muestra que es imposible que exactamente uno de U , V , W sea ​​0.

3. Suponga que exactamente dos de U , V , W son 0. Sin pérdida de generalidad asumimos

(***)${\ Displaystyle U \ neq 0, V = W = 0. \,}$

Resulta que ${\ Displaystyle z = 0, \,}$

(ya que implica eso y, por lo tanto, contradice (***).) ${\ Displaystyle z \ neq 0, \,}$${\ Displaystyle x = y = 0, \,}$${\ Displaystyle U = 0, \,}$

un. En el sub caso donde

${\ Displaystyle | U | \ leq {\ frac {1} {2}},}$

si determinamos x e y por

${\ Displaystyle x ^ {2} = {\ frac {1 + {\ sqrt {1-4U ^ {2}}}} {2}}}$

y ${\ Displaystyle y ^ {2} = {\ frac {1 - {\ sqrt {1-4U ^ {2}}}} {2}},}$

esto asegura que (*) se mantenga. Es fácil verificar que${\ Displaystyle x ^ {2} y ^ {2} = U ^ {2}, \,}$

y por lo tanto la elección de los signos de x y y apropiadamente garantizará${\ Displaystyle xy = U. \,}$

Ya que tambien ${\ Displaystyle yz = 0 = V {\ text {y}} zx = 0 = W, \,}$

esto muestra que este subcase conduce al inverso deseado.

B. En este sub caso restante del caso 3 , tenemos${\ Displaystyle | U |> {\ frac {1} {2}}.}$

Ya que ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1, \,}$

es fácil comprobar que ${\ Displaystyle xy \ leq {\ frac {1} {2}},}$

y así en este caso, donde ${\ Displaystyle | U |> 1/2, \ V = W = 0,}$

no hay ( x , y , z ) satisfactorio${\ Displaystyle U = xy, \ V = yz, \ W = zx.}$

De ahí las soluciones ( U , 0, 0) de la ecuación (*) con ${\ Displaystyle | U |> {\ frac {1} {2}}}$

e igualmente, (0, V , 0) con ${\ Displaystyle | V |> {\ frac {1} {2}}}$

y (0, 0, W ) con${\ Displaystyle | W |> {\ frac {1} {2}}}$

(cada uno de los cuales es una parte no compacta de un eje de coordenadas, en dos piezas) no corresponden a ningún punto de la superficie romana .

4. Si ( U , V , W ) es el punto (0, 0, 0), entonces si dos cualesquiera de x , y , z son cero y el tercero tiene un valor absoluto 1, claramente como se desee. ${\ Displaystyle (xy, yz, zx) = (0,0,0) = (U, V, W) \,}$

Esto cubre todos los casos posibles.

Derivación de ecuaciones paramétricas

Sea una esfera de radio r , longitud φ y latitud θ . Entonces sus ecuaciones paramétricas son

${\ Displaystyle x = r \, \ cos \ theta \, \ cos \ phi,}$

${\ Displaystyle y = r \, \ cos \ theta \, \ sin \ phi,}$

${\ Displaystyle z = r \, \ sin \ theta.}$

Luego, aplicando la transformación T a todos los puntos de esta esfera se obtiene

${\ Displaystyle x '= yz = r ^ {2} \, \ cos \ theta \, \ sin \ theta \, \ sin \ phi,}$

${\ Displaystyle y '= zx = r ^ {2} \, \ cos \ theta \, \ sin \ theta \, \ cos \ phi,}$

${\ Displaystyle z '= xy = r ^ {2} \, \ cos ^ {2} \ theta \, \ cos \ phi \, \ sin \ phi,}$

que son los puntos de la superficie romana. Sea φ entre 0 y 2π y θ entre 0 y π / 2 .

Relación con el plano proyectivo real

La esfera, antes de transformarse, no es homeomorfa al plano proyectivo real, RP ² . Pero la esfera centrada en el origen tiene esta propiedad, que si el punto (x, y, z) pertenece a la esfera, entonces también lo hace el punto antípoda (-x, -y, -z) y estos dos puntos son diferentes: Acuéstese en lados opuestos del centro de la esfera.

La transformación T convierte ambos puntos antípodas en el mismo punto,

${\ Displaystyle T: (x, y, z) \ rightarrow (yz, zx, xy),}$

${\ Displaystyle T: (- x, -y, -z) \ rightarrow ((-y) (- z), (- z) (- x), (- x) (- y)) = (yz, zx , xy).}$

Dado que esto es cierto para todos los puntos de S ² , entonces está claro que la superficie romana es una imagen continua de una "esfera módulo antípodas". Debido a que algunos pares distintos de antípodas se llevan a puntos idénticos en la superficie romana, no es homeomorfo a RP ² , sino que es un cociente del plano proyectivo real RP ² = S ² / (x ~ -x) . Además, el mapa T (arriba) de S ² a este cociente tiene la propiedad especial de que es inyectable localmente lejos de seis pares de puntos antípodas. O del RP ^2, el mapa resultante, lo que lo convierte en una inmersión de RP ² , menos seis puntos, en 3 espacios.

(Se dijo anteriormente que la superficie romana es homeomórfica para RP ² , pero esto fue un error. Posteriormente se afirmó que la superficie romana es una inmersión de RP ² en R ³ , pero eso también fue un error).

Estructura de la superficie romana

La superficie romana tiene cuatro "lóbulos" bulbosos, cada uno en una esquina diferente de un tetraedro.

Se puede construir una superficie romana empalmando tres paraboloides hiperbólicos y luego alisando los bordes según sea necesario para que se ajuste a la forma deseada (por ejemplo, parametrización).

Que existan estos tres paraboloides hiperbólicos:

• x = yz ,
• y = zx ,
• z = xy .

Estos tres paraboloides hiperbólicos se cruzan externamente a lo largo de los seis bordes de un tetraedro e internamente a lo largo de los tres ejes. Las intersecciones internas son lugares de puntos dobles. Los tres lugares de los puntos dobles: x = 0, y = 0 y z = 0, se cruzan en un punto triple en el origen .

Por ejemplo, dado x = yz e y = zx , el segundo paraboloide es equivalente ax = y / z . Luego

${\ Displaystyle yz = {y \ over z}}$

y y = 0 o z ² = 1 de modo que z = ± 1. Sus dos intersecciones externas son

• x = y , z = 1;
• x = - y , z = −1.

Asimismo, las otras intersecciones externas son

• x = z , y = 1;
• x = - z , y = −1;
• y = z , x = 1;
• y = - z , x = −1.

Veamos cómo se juntan las piezas. Une los paraboloides y = xz y x = yz . El resultado se muestra en la Figura 1.

El paraboloide y = xz se muestra en azul y naranja. El paraboloide x = yz se muestra en cian y violeta. En la imagen, se ve que los paraboloides se cruzan a lo largo del eje z = 0 . Si los paraboloides se extienden, también se debe ver que se cruzan a lo largo de las líneas.

• z = 1, y = x ;
• z = −1, y = - x .

Los dos paraboloides juntos parecen un par de orquídeas unidas espalda con espalda.

Ahora pase el tercer paraboloide hiperbólico, z = xy , a través de ellos. El resultado se muestra en la Figura 2.

En las direcciones oeste-suroeste y este-noreste en la Figura 2 hay un par de aberturas. Estas aberturas son lóbulos y deben cerrarse. Cuando se cierran las aberturas, el resultado es la superficie romana que se muestra en la Figura 3.

Se pueden ver un par de lóbulos en las direcciones Oeste y Este de la Figura 3. Otro par de lóbulos están ocultos debajo del tercer paraboloide ( z = xy ) y se encuentran en las direcciones Norte y Sur.

Si los tres paraboloides hiperbólicos que se cruzan se dibujan lo suficientemente lejos como para que se crucen a lo largo de los bordes de un tetraedro, el resultado es el que se muestra en la Figura 4.

Uno de los lóbulos se ve frontalmente, de frente, en la Figura 4. Se puede ver que el lóbulo es una de las cuatro esquinas del tetraedro.

Si la superficie continua de la Figura 4 tiene sus bordes afilados redondeados (suavizados), el resultado es la superficie romana de la Figura 5.

Uno de los lóbulos de la superficie romana se ve frontalmente en la Figura 5, y su forma bulbosa , similar a un globo, es evidente.

Si la superficie de la Figura 5 se gira 180 grados y luego se da vuelta, el resultado es como se muestra en la Figura 6.

La figura 6 muestra tres lóbulos vistos de lado. Entre cada par de lóbulos hay un lugar geométrico de puntos dobles correspondientes a un eje de coordenadas. Los tres loci se cruzan en un punto triple en el origen. El cuarto lóbulo está oculto y apunta en la dirección directamente opuesta al espectador. La superficie romana que se muestra en la parte superior de este artículo también tiene tres lóbulos en vista lateral.

Unilateralidad

La superficie romana no es orientable , es decir, unilateral. Esto no es del todo obvio. Para ver esto, mire nuevamente la Figura 3.

Imagínese una hormiga encima del "tercer" paraboloide hiperbólico , z = xy . Deja que esta hormiga se mueva hacia el norte. A medida que se mueva, atravesará los otros dos paraboloides, como un fantasma atravesando una pared. Estos otros paraboloides solo parecen obstáculos debido a la naturaleza de intersección de la inmersión. Deje que la hormiga ignore todos los puntos dobles y triples y los atraviese. Entonces la hormiga se mueve hacia el norte y cae del borde del mundo, por así decirlo. Ahora se encuentra en el lóbulo norte, escondido debajo del tercer paraboloide de la Figura 3. La hormiga está de pie boca abajo, en el "exterior" de la superficie romana.

Deje que la hormiga se mueva hacia el suroeste. Subirá una pendiente (al revés) hasta que se encuentre "dentro" del lóbulo occidental. Ahora deje que la hormiga se mueva en dirección sureste a lo largo del interior del lóbulo occidental hacia el eje z = 0 , siempre por encima del plano xy . Tan pronto como pase por el eje z = 0, la hormiga estará en el "exterior" del lóbulo oriental, de pie con el lado derecho.

Luego déjelo moverse hacia el norte, sobre "la colina", luego hacia el noroeste para que comience a deslizarse hacia el eje x = 0 . Tan pronto como la hormiga cruce este eje, se encontrará "dentro" del lóbulo norte, con el lado derecho hacia arriba. Ahora deja que la hormiga camine hacia el norte. Subirá por la pared, luego a lo largo del "techo" del lóbulo norte. La hormiga está de vuelta en el tercer paraboloide hiperbólico, pero esta vez debajo de él y al revés. (Compare con la botella de Klein ).

Puntos dobles, triples y de pellizco

La superficie romana tiene cuatro "lóbulos". Los límites de cada lóbulo son un conjunto de tres líneas de puntos dobles. Entre cada par de lóbulos hay una línea de puntos dobles. La superficie tiene un total de tres líneas de puntos dobles, que se encuentran (en la parametrización dada anteriormente) sobre los ejes de coordenadas. Las tres líneas de puntos dobles se cruzan en un punto triple que se encuentra en el origen. El punto triple corta las líneas de los puntos dobles en un par de medias líneas, y cada media línea se encuentra entre un par de lóbulos. Uno podría esperar de las declaraciones anteriores que podría haber hasta ocho lóbulos, uno en cada octante de espacio que ha sido dividido por los planos de coordenadas. Pero los lóbulos ocupan octantes alternos: cuatro octantes están vacíos y cuatro están ocupados por lóbulos.

Si la superficie romana se inscribiera dentro del tetraedro con el menor volumen posible, se encontraría que cada borde del tetraedro es tangente a la superficie romana en un punto, y que cada uno de estos seis puntos resulta ser una singularidad de Whitney . Estas singularidades, o puntos de pellizco, se encuentran todas en los bordes de las tres líneas de puntos dobles, y están definidas por esta propiedad: que no hay un plano tangente a ninguna superficie en la singularidad.

Ver también

• Superficie de niño : una inmersión del plano proyectivo sin tapas cruzadas.
• Tetrahemihexaedro : un poliedro muy similar a la superficie romana.

Referencias

Referencias generales

• A. Coffman, A. Schwartz y C. Stanton: El álgebra y la geometría de Steiner y otras superficies cuadráticamente parametrizables . En Computer Aided Geometric Design (3) 13 (abril de 1996), p. 257-286
• Bert Jüttler, Ragni Piene: Modelado geométrico y geometría algebraica . Springer 2008, ISBN  978-3-540-72184-0 , pág. 30 ( copia en línea restringida , p. 30, en Google Books )

enlaces externos

• A. Coffman, " Steiner Surfaces "
• Weisstein, Eric W. "Superficie romana" . MathWorld .
• Roman Surfaces en el National Curve Bank (sitio web de la Universidad Estatal de California)
• Ashay Dharwadker, Heptahedron and Roman Surface, Electronic Geometry Models, 2004.