Mapeo de compresión - Squeeze mapping

r = mapeo de compresión 3/2

En álgebra lineal , un mapeo de compresión es un tipo de mapa lineal que conserva el área euclidiana de regiones en el plano cartesiano , pero no es un mapeo de rotación o cizallamiento .

Para un número real positivo fijo $a$ , el mapeo

{\ displaystyle (x, y) \ mapsto (ax, y / a)}

es el mapeo de compresión con el parámetro $a$ . Ya que

{\ Displaystyle \ {(u, v) \,: \, uv = \ mathrm {constante} \}}

es una hipérbola , si $u = ax$ y $v = y / a$ , entonces $uv = xy$ y los puntos de la imagen del mapeo de compresión están en la misma hipérbola que $(x, y)$ . Por esta razón, es natural pensar en el mapeo de compresión como una rotación hiperbólica , como hizo Émile Borel en 1914, por analogía con las rotaciones circulares , que conservan los círculos.

Logaritmo y ángulo hiperbólico

El mapeo de compresión prepara el escenario para el desarrollo del concepto de logaritmos. El problema de encontrar el área delimitada por una hipérbola (como $xy = 1)$ es de cuadratura . La solución, encontrada por Grégoire de Saint-Vincent y Alphonse Antonio de Sarasa en 1647, requería la función logaritmo natural , un nuevo concepto. Algunos datos sobre los logaritmos se obtienen a través de sectores hiperbólicos que se permutan mediante mapeos de compresión mientras se preserva su área. El área de un sector hiperbólico se toma como una medida de un ángulo hiperbólico asociado con el sector. El concepto de ángulo hiperbólico es bastante independiente del ángulo circular ordinario , pero comparte una propiedad de invariancia con él: mientras que el ángulo circular es invariante bajo rotación, el ángulo hiperbólico es invariante bajo mapeo de compresión. Tanto el ángulo circular como el hiperbólico generan medidas invariantes pero con respecto a diferentes grupos de transformación. Las funciones hiperbólicas , que toman el ángulo hiperbólico como argumento, desempeñan el papel que desempeñan las funciones circulares con el argumento del ángulo circular.

Teoría de grupos

Un mapeo de compresión mueve un sector hiperbólico violeta a otro con la misma área.
También aprieta rectángulos azules y verdes .

En 1688, mucho antes de la teoría abstracta de grupos , Euclid Speidell describió el mapeo de compresión en los términos del día: "De un cuadrado y una compañía infinita de oblongos en superficies, cada uno igual a ese cuadrado, cómo se engendra una curva que tendrá las mismas propiedades o afecciones de cualquier Hipérbola inscrita dentro de un Cono en Ángulo Recto ".

Si $r$ y $s$ son números reales positivos, la composición de sus asignaciones de compresión es el mapeo de aterrizaje de su producto. Por lo tanto, la colección de asignaciones de compresión forma un grupo de un parámetro isomorfo al grupo multiplicativo de números reales positivos . Una visión aditiva de este grupo surge de la consideración de los sectores hiperbólicos y sus ángulos hiperbólicos.

Desde el punto de vista de los grupos clásicos , el grupo de mapeos de compresión es $SO + (1,1)$ , el componente de identidad del grupo ortogonal indefinido de matrices reales 2 × 2 conservando la forma cuadrática $u 2 - v 2$ . Esto equivale a conservar la forma $xy$ mediante el cambio de base.

{\ Displaystyle x = u + v, \ quad y = uv \ ,,}

y corresponde geométricamente a la preservación de hipérbolas. La perspectiva del grupo de mapeos de compresión como rotación hiperbólica es análoga a interpretar el grupo $SO (2)$ (el componente conectado del grupo ortogonal definido ) conservando la forma cuadrática $x 2 + y 2$ como rotaciones circulares .

Tenga en cuenta que la notación " $SO +$ " corresponde al hecho de que las reflexiones

{\ Displaystyle u \ mapsto -u, \ quad v \ mapsto -v}

no están permitidos, aunque conservan la forma (en términos de $x$ y $y$ estos son $x \mapsto y, y \mapsto x$ y $x \mapsto - x, y \mapsto - Y)$ ; el " $+$ " adicional en el caso hiperbólico (en comparación con el caso circular) es necesario para especificar el componente de identidad porque el grupo $O (1,1)$ tiene $4$ componentes conectados , mientras que el grupo $O (2)$ tiene $2$ componentes: $SO (1,1)$ tiene $2$ componentes, mientras que $SO (2)$ solo tiene 1. El hecho de que la compresión transforma el área de preservación y la orientación corresponde a la inclusión de los subgrupos $SO \subset SL$ - en este caso $SO (1,1) \subset SL ( 2)$ - del subgrupo de rotaciones hiperbólicas en el grupo lineal especial de transformadas que preservan el área y la orientación (una forma de volumen ). En el lenguaje de las transformaciones de Möbius , las transformaciones de compresión son los elementos hiperbólicos en la clasificación de elementos .

Aplicaciones

Aquí se resumen algunas aplicaciones con referencias históricas.

Espacio-tiempo relativista

La geometría del espacio-tiempo se desarrolla convencionalmente de la siguiente manera: Seleccione (0,0) para un "aquí y ahora" en un espacio-tiempo. La luz radiante a izquierda y derecha a través de este evento central rastrea dos líneas en el espacio-tiempo, líneas que pueden usarse para dar coordenadas a eventos alejados de (0,0). Las trayectorias de menor velocidad se acercan más a la línea de tiempo original (0, t ). Cualquier velocidad de este tipo puede verse como una velocidad cero bajo un mapeo de compresión llamado refuerzo de Lorentz . Esta idea se deriva de un estudio de multiplicaciones de números complejos divididos y la base diagonal que corresponde al par de líneas claras. Formalmente, una compresión conserva la métrica hiperbólica expresada en la forma xy ; en un sistema de coordenadas diferente. Esta aplicación en la teoría de la relatividad fue notada en 1912 por Wilson y Lewis, por Werner Greub y por Louis Kauffman . Además, la forma de mapeo de compresión de las transformaciones de Lorentz fue utilizada por Gustav Herglotz (1909/10) mientras discutía la rigidez de Born , y fue popularizada por Wolfgang Rindler en su libro de texto sobre relatividad, quien la usó en su demostración de su propiedad característica.

El término transformación por compresión se utilizó en este contexto en un artículo que conecta al grupo de Lorentz con el cálculo de Jones en óptica.

Flujo de esquina

En la dinámica de fluidos, uno de los movimientos fundamentales de un flujo incompresible implica la bifurcación de un flujo que choca contra una pared inamovible. Representando la pared por el eje y = 0 y tomando el parámetro r = exp ( t ) donde t es el tiempo, entonces el mapeo de compresión con el parámetro r aplicado a un estado de fluido inicial produce un flujo con bifurcación a la izquierda y derecha del eje x = 0. El mismo modelo proporciona una convergencia fluida cuando se corre el tiempo hacia atrás. De hecho, el área de cualquier sector hiperbólico es invariante bajo presión.

Para otro enfoque de un flujo con líneas de corriente hiperbólicas , consulte Flujo potencial § Leyes de potencia con n = 2 .

En 1989, Ottino describió el "flujo bidimensional isocórico lineal" como

{\ Displaystyle v_ {1} = Gx_ {2} \ quad v_ {2} = KGx_ {1}}

donde K se encuentra en el intervalo [−1, 1]. Las líneas aerodinámicas siguen las curvas

{\ Displaystyle x_ {2} ^ {2} -Kx_ {1} ^ {2} = \ mathrm {constante}}

por lo que K negativo corresponde a una elipse y K positivo a una hipérbola, con el caso rectangular del mapeo de compresión correspondiente a K = 1.

Stocker y Hosoi describieron su enfoque del flujo de esquina de la siguiente manera:

Sugerimos una formulación alternativa para dar cuenta de la geometría en forma de esquina, basada en el uso de coordenadas hiperbólicas, que permite un progreso analítico sustancial hacia la determinación del flujo en un borde de meseta y los hilos líquidos adjuntos. Consideramos una región de flujo formando un ángulo de π / 2 y delimitada a la izquierda y al fondo por planos de simetría.

Stocker y Hosoi recuerdan entonces la consideración de Moffatt del "flujo en una esquina entre límites rígidos, inducido por una perturbación arbitraria a una gran distancia". Según Stocker y Hosoi,

Para un fluido libre en una esquina cuadrada, la función de flujo de Moffatt (antisimétrica) ... [indica] que las coordenadas hiperbólicas son de hecho la elección natural para describir estos flujos.

Puente a lo trascendental

La propiedad de preservación del área del mapeo de compresión tiene una aplicación para establecer la base del logaritmo natural de las funciones trascendentales y su inversa la función exponencial :

Definición: Sector ( a, b ) es el sector hiperbólico obtenido con rayos centrales a ( a , 1 / a ) y ( b , 1 / b ).

Lema: Si bc = ad , entonces hay un mapeo de compresión que mueve el sector ( a, b ) al sector ( c, d ).

Prueba: tome el parámetro r = c / a de modo que ( u, v ) = ( rx , y / r ) lleve ( a , 1 / a ) a ( c , 1 / c ) y ( b , 1 / b ) a ( d , 1 / d ).

Teorema ( Gregoire de Saint-Vincent 1647) Si bc = ad , entonces la cuadratura de la hipérbola xy = 1 contra la asíntota tiene áreas iguales entre una y b en comparación con entre c y d .

Prueba: un argumento que suma y resta triángulos de área 1 ⁄ 2 , un triángulo es {(0,0), (0,1), (1,1)}, muestra que el área del sector hiperbólico es igual al área a lo largo de la asíntota . El teorema se sigue luego del lema.

Teorema ( Alfonso Antonio de Sarasa 1649) A medida que el área medida contra la asíntota aumenta en la progresión aritmética, las proyecciones sobre la asíntota aumentan en la secuencia geométrica. Así, las áreas forman logaritmos del índice de asíntota.

Por ejemplo, para un ángulo de posición estándar que va de (1, 1) a ( x , 1 / x ), uno puede preguntar "¿Cuándo es el ángulo hiperbólico igual a uno?" La respuesta es el número trascendental x = e .

Un apretón con r = e mueve el ángulo unitario a uno entre ( e , 1 / e ) y ( ee , 1 / ee ) que subtiende un sector también del área uno. La progresión geométrica

e , e ² , e ³ , ..., e ⁿ , ...

corresponde al índice asintótico alcanzado con cada suma de áreas

1,2,3, ..., n , ...

que es una progresión aritmética prototípica A + nd donde A = 0 yd = 1.

Mentira transformar

Siguiendo las investigaciones de Pierre Ossian Bonnet (1867) sobre superficies de curvaturas constantes, Sophus Lie (1879) encontró una manera de derivar nuevas superficies pseudoesféricas a partir de una conocida. Tales superficies satisfacen la ecuación de Sine-Gordon :

{\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ Theta} {ds \ d \ sigma}} = K \ sin \ Theta}

donde son las coordenadas asintóticas de dos curvas tangentes principales y su ángulo respectivo. Lie mostró que si es una solución a la ecuación de Sine-Gordon, entonces el siguiente mapeo de compresión (ahora conocido como transformada de Lie) indica otras soluciones de esa ecuación: ${\ Displaystyle (s, \ sigma)}$ ${\ Displaystyle \ Theta}$ ${\ Displaystyle \ Theta = f (s, \ sigma)}$

{\ Displaystyle \ Theta = f \ left (ms, \ {\ frac {\ sigma} {m}} \ right)}

Lie (1883) notó su relación con otras dos transformaciones de superficies pseudoesféricas: La transformada de Bäcklund (introducida por Albert Victor Bäcklund en 1883) puede verse como la combinación de una transformada de Lie con una transformada de Bianchi (introducida por Luigi Bianchi en 1879). Tales transformaciones de superficies pseudoesféricas se discutieron en detalle en las conferencias sobre geometría diferencial de Gaston Darboux (1894), Luigi Bianchi (1894) o Luther Pfahler Eisenhart (1909).

Se sabe que las transformadas de Lie (o mapeos de compresión) corresponden a los aumentos de Lorentz en términos de coordenadas de cono de luz , como lo señalan Terng y Uhlenbeck (2000):

Sophus Lie observó que la SGE [ecuación de Sinus-Gordon] es invariante bajo las transformaciones de Lorentz. En coordenadas asintóticas, que corresponden a las coordenadas del cono de luz, una transformación de Lorentz es . ${\ Displaystyle (x, t) \ mapsto \ left ({\ tfrac {1} {\ lambda}} x, \ lambda t \ right)}$

Esto se puede representar de la siguiente manera:

{\ Displaystyle {\ begin {matrix} -c ^ {2} t ^ {2} + x ^ {2} = - c ^ {2} t ^ {\ prime 2} + x ^ {\ prime 2} \\ \ hline {\ begin {alineado} ct '& = ct \ gamma -x \ beta \ gamma && = ct \ cosh \ eta -x \ sinh \ eta \\ x' & = - ct \ beta \ gamma + x \ gamma && = - ct \ sinh \ eta + x \ cosh \ eta \ end {alineado}} \\\ hline u = ct + x, \ v = ct-x, \ k = {\ sqrt {\ tfrac {1+ \ beta} {1- \ beta}}} = e ^ {\ eta} \\ u '= {\ frac {u} {k}}, \ v' = kv \\\ hline u'v '= uv \ end {matriz}}}

donde k corresponde al factor Doppler en el cálculo k de Bondi , η es la rapidez .

Ver también

Referencias

HSM Coxeter & SL Greitzer (1967) Geometry Revisited , Capítulo 4 Transformaciones, Una genealogía de la transformación.
PS Modenov y AS Parkhomenko (1965) Transformaciones geométricas , volumen uno. Consulte las páginas 104 a 106.
Walter, Scott (1999). "El estilo no euclidiano de la relatividad de Minkowskian" (PDF) . En J. Gray (ed.). El universo simbólico: geometría y física . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 91-127.(consulte la página 9 del enlace electrónico)

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