Promedio de señal - Signal averaging

El promediado de señales es una técnica de procesamiento de señales aplicada en el dominio del tiempo , destinada a aumentar la fuerza de una señal en relación con el ruido que la está oscureciendo. Al promediar un conjunto de mediciones repetidas , la relación señal / ruido (SNR) aumentará, idealmente en proporción a la raíz cuadrada del número de mediciones.

Derivación de la SNR para señales promediadas

Asumido que

• La señal no está correlacionado con el ruido, y el ruido no está correlacionado: .${\ Displaystyle s (t)}$${\ Displaystyle z (t)}$${\ Displaystyle E [z (t) z (t- \ tau)] = 0 = E [z (t) s (t- \ tau)] \ forall t, \ tau}$
• La potencia de la señal es constante en las mediciones repetidas.${\ displaystyle P_ {señal} = E [s ^ {2}]}$
• El ruido es aleatorio, con una media de cero y una varianza constante en las mediciones repetidas: y .${\ Displaystyle E [z] = 0 = \ mu}$${\ Displaystyle 0 <E [\ left (z- \ mu \ right) ^ {2}] = E [z ^ {2}] = P_ {ruido} = \ sigma ^ {2}}$
• Nosotros (canónicamente) definimos la relación señal / ruido como .${\ Displaystyle SNR = {\ frac {P_ {señal}} {P_ {ruido}}} = {\ frac {E [s ^ {2}]} {\ sigma ^ {2}}}}$

Potencia de ruido para señales muestreadas

Suponiendo que muestreamos el ruido, obtenemos una varianza por muestra de

${\ Displaystyle \ mathrm {Var} (z) = E [z ^ {2}] = \ sigma ^ {2}}$.

El promedio de una variable aleatoria conduce a la siguiente varianza:

${\ Displaystyle \ mathrm {Var} \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} z_ {i} \ right) = {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ mathrm {Var} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} z_ {i} \ right) = {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {Var} \ left (z_ {i} \ right)}$.

Dado que la varianza del ruido es constante : ${\ Displaystyle \ sigma ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ mathrm {Var} (N _ {\ text {avg}}) = \ mathrm {Var} \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} z_ {i} \ right) = {\ frac {1} {n ^ {2}}} n \ sigma ^ {2} = {\ frac {1} {n}} \ sigma ^ {2}}$,

demostrando que promediar las realizaciones del mismo ruido no correlacionado reduce la potencia del ruido en un factor de y reduce el nivel de ruido en un factor de . ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle {\ sqrt {n}}}$

Potencia de señal para señales muestreadas

Considerando vectores de muestras de señales de longitud : ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle V_ {i}, \, i \ in \ {1, \ ldots, n \}}$${\ Displaystyle T}$

${\ Displaystyle V_ {i} = \ left [s_ {i, 1}, \ ldots, s_ {i, T} \ right], \ quad s_ {i, k} \ in \ mathbb {K} ^ {T} }$,

el poder de tal vector es simplemente ${\ Displaystyle P_ {i}}$

${\ Displaystyle P_ {i} = \ sum _ {k = 1} ^ {T} {s_ {i, k} ^ {2}} = \ left | V_ {i} \ right | ^ {2}}$.

Nuevamente, promediando los vectores , se obtiene el siguiente vector promediado ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle V_ {i}, \, i = 1, \ ldots, n}$

${\ Displaystyle V _ {\ text {avg}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {T} \ sum _ {i = 1} ^ {n} s_ {i, k} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {k = 1} ^ {T} s_ {i, k}}$.

En el caso donde , vemos que alcanza un máximo de ${\ Displaystyle V_ {n} \ equiv V_ {m} \ forall m, n \ in \ {1, \ ldots, n \}}$${\ Displaystyle V _ {\ text {avg}}}$

${\ Displaystyle V _ {\ text {prom, señales idénticas}} = P_ {i}}$.

En este caso, la relación señal / ruido también alcanza un máximo,

${\ displaystyle {\ text {SNR}} _ {\ text {avg, señales idénticas}} = {\ frac {V _ {\ text {avg, señales idénticas}}} {N _ {\ text {avg}}}} = n {\ text {SNR}}}$.

Este es el caso del sobremuestreo , donde la señal observada está correlacionada (porque el sobremuestreo implica que las observaciones de la señal están fuertemente correlacionadas).

Señales bloqueadas por tiempo

El promedio se aplica para mejorar un componente de señal bloqueada en el tiempo en mediciones ruidosas; El bloqueo de tiempo implica que la señal es de observación periódica, por lo que terminamos en el caso máximo anterior.

Promedio de ensayos pares e impares

Una forma específica de obtener réplicas es promediar todos los ensayos pares e impares en búferes separados. Esto tiene la ventaja de permitir la comparación de resultados pares e impares de ensayos intercalados. Un promedio de promedios pares e impares genera el resultado promedio completo, mientras que la diferencia entre los promedios pares e impares, dividida por dos, constituye una estimación del ruido.

Implementación algorítmica

La siguiente es una simulación de MATLAB del proceso de promediado:

N=1000;   % signal length
even=zeros(N,1);  % even buffer
odd=even;         % odd buffer
actual_noise=even;% keep track of noise level
x=sin(linspace(0,4*pi,N))'; % tracked signal
for ii=1:256 % number of replicates
    n = randn(N,1); % random noise
    actual_noise = actual_noise+n;
    
    if (mod(ii,2))
        even = even+n+x;
    else
        odd=odd+n+x;
    end
end

even_avg = even/(ii/2); % even buffer average 
odd_avg = odd/(ii/2);   % odd buffer average
act_avg = actual_noise/ii; % actual noise level

db(rms(act_avg))
db(rms((even_avg-odd_avg)/2))
plot((odd_avg+even_avg)); 
hold on; 
plot((even_avg-odd_avg)/2)

El proceso de promediado anterior, y en general, da como resultado una estimación de la señal. Cuando se compara con la traza sin procesar, el componente de ruido promedio se reduce con cada ensayo promedio. Al promediar señales reales, es posible que el componente subyacente no siempre sea tan claro, lo que da como resultado promedios repetidos en una búsqueda de componentes consistentes en dos o tres repeticiones. Es poco probable que dos o más resultados consistentes se produzcan solo por casualidad.

Ruido correlacionado

El promedio de la señal generalmente se basa en la suposición de que el componente de ruido de una señal es aleatorio, tiene una media cero y no está relacionado con la señal. Sin embargo, hay casos en los que el ruido no deja de estar correlacionado. Un ejemplo común de ruido correlacionado es el ruido de cuantificación (por ejemplo, el ruido creado al convertir de una señal analógica a una digital).

Referencias