Fórmula de cordones - Shoelace formula

La fórmula de cordones de zapatos o algoritmo de cordones de zapatos (también conocida como fórmula del área de Gauss y fórmula del topógrafo ) es un algoritmo matemático para determinar el área de un polígono simple cuyos vértices se describen por sus coordenadas cartesianas en el plano. El usuario multiplica las coordenadas correspondientes para encontrar el área que abarca el polígono y lo resta del polígono circundante para encontrar el área del polígono dentro. Se llama fórmula de cordones de zapatos debido a la constante multiplicación cruzada de las coordenadas que forman el polígono, como enhebrar cordones de zapatos. A veces también se le llama método de cordones . Tiene aplicaciones en agrimensura y silvicultura, entre otras áreas.

La fórmula fue descrita por Albrecht Ludwig Friedrich Meister (1724-1788) en 1769 y por Carl Friedrich Gauss en 1795. Puede verificarse dividiendo el polígono en triángulos y puede considerarse un caso especial del teorema de Green .

La fórmula del área se deriva tomando cada arista AB y calculando el área del triángulo ABO con un vértice en el origen O , tomando el producto cruzado (que da el área de un paralelogramo ) y dividiéndolo por 2. A medida que se envuelve el polígono, estos triángulos con área positiva y negativa se superpondrán, y las áreas entre el origen y el polígono se cancelarán y sumarán 0, mientras que solo queda el área dentro del triángulo de referencia. Por eso la fórmula se llama fórmula del topógrafo, ya que el "topógrafo" está en el origen; si va en sentido contrario a las agujas del reloj, se agrega área positiva cuando se va de izquierda a derecha y se agrega área negativa cuando se va de derecha a izquierda, desde la perspectiva del origen.

La fórmula del área también se puede aplicar a polígonos que se superponen por sí mismos, ya que el significado del área aún es claro, aunque los polígonos que se superponen a sí mismos no son generalmente simples . Además, un polígono superpuesto puede tener múltiples "interpretaciones", pero la fórmula de Cordones se puede utilizar para mostrar que el área del polígono es la misma independientemente de la interpretación.

Declaración

La fórmula se puede representar con la expresión

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {A} & = {1 \ over 2} \ left | \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n-1} x_ {i} y_ {i + 1} \ derecha) + x_ {n} y_ {1} - \ izquierda (\ sum _ {i = 1} ^ {n-1} x_ {i + 1} y_ {i} \ derecha) -x_ {1} y_ {n} \ right | \\ [4pt] & = {1 \ over 2} | x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + \ cdots + x_ {n-1} y_ { n} + x_ {n} y_ {1} -x_ {2} y_ {1} -x_ {3} y_ {2} - \ cdots -x_ {n} y_ {n-1} -x_ {1} y_ { n} | \ end {alineado}}}$

dónde

• A es el área del polígono,
• n es el número de lados del polígono y
• ( x _i ,  y _i ), i  = 1, 2, ...,  n son los vértices ordenados (o "esquinas") del polígono.

Alternativamente

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {A} & = {1 \ over 2} \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} (y_ {i + 1} -y_ {i-1}) \ right | = {1 \ over 2} \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} y_ {i} (x_ {i + 1} -x_ {i-1}) \ right | = {1 \ over 2} \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {i}) \ right | \\ [5pt] & = {1 \ over 2} \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i + 1} + x_ {i}) (y_ {i + 1} - y_ {i}) \ right | = {1 \ over 2} \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ det {\ begin {pmatrix} x_ {i} & x_ {i + 1} \\ y_ {i} & y_ {i + 1} \ end {pmatrix}} \ right | \ end {alineado}}}$

donde x _{n +1} = x ₁ y x ₀ = x _n , así como y _{n +1} = y ₁ e y ₀ = y _n .

Si los puntos se etiquetan secuencialmente en el sentido contrario a las agujas del reloj, entonces la suma de los determinantes anteriores es positiva y los signos de valor absoluto pueden omitirse; si están etiquetados en el sentido de las agujas del reloj, la suma de los determinantes será negativa. Esto se debe a que la fórmula puede verse como un caso especial del teorema de Green .

Se puede dar un enunciado particularmente conciso de la fórmula en términos del álgebra exterior . Si son los vértices consecutivos del polígono (considerados como vectores en el plano cartesiano) entonces ${\ Displaystyle v_ {1}, \ dots, v_ {n}}$

${\ Displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ cdot \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} v_ {i} \ wedge v_ {i + 1} \ right |.}$

Pruebas

Prueba de un triángulo

Con referencia a la figura, sea ​​el área del triángulo cuyos vértices están dados por las coordenadas y dibuje el rectángulo de área mínima alrededor del triángulo para que sus lados sean paralelos a los ejes o . Al menos un vértice del triángulo estará en una esquina del rectángulo. En la figura, las áreas de los tres triángulos circundantes son y Obviamente es igual al área del rectángulo (llámelo ) menos las áreas de los otros tres triángulos: ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$${\ Displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}),}$${\ Displaystyle (x_ {3}, y_ {3}).}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle \ mathbf {C}, \ mathbf {D},}$${\ Displaystyle \ mathbf {E}.}$${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = \ mathbf {R} - \ mathbf {C} - \ mathbf {D} - \ mathbf {E}}$

Al inspeccionar la figura se puede ver que las áreas están dadas por

${\ Displaystyle \ mathbf {R} = (x_ {3} -x_ {2}) (y_ {1} -y_ {3}) = (x_ {3} y_ {1} + x_ {2} y_ {3} ) - (x_ {3} y_ {3} + x_ {2} y_ {1})}$

${\ Displaystyle - \ mathbf {C} = - {\ frac {1} {2}} (x_ {3} -x_ {2}) (y_ {2} -y_ {3}) = {\ frac {1} {2}} (- x_ {3} y_ {2} -x_ {2} y_ {3}) + {\ frac {1} {2}} (x_ {3} y_ {3} + x_ {2} y_ {2})}$

${\ Displaystyle - \ mathbf {D} = - {\ frac {1} {2}} (x_ {3} -x_ {1}) (y_ {1} -y_ {3}) = {\ frac {1} {2}} (- x_ {3} y_ {1} -x_ {1} y_ {3}) + {\ frac {1} {2}} (x_ {3} y_ {3} + x_ {1} y_ {1})}$

${\ Displaystyle - \ mathbf {E} = - {\ frac {1} {2}} (x_ {1} -x_ {2}) (y_ {1} -y_ {2}) = {\ frac {1} {2}} (- x_ {1} y_ {1} -x_ {2} y_ {2}) + {\ frac {1} {2}} (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1})}$

Recopilación de términos y reordenación de rendimientos

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ frac {1} {2}} ((x_ {2} y_ {3} -x_ {3} y_ {2}) - (x_ {1} y_ {3} - x_ {3} y_ {1}) + (x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1}))}$

que se puede escribir como determinante

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_ {1} & x_ {2} & x_ {3} \\ y_ {1} & y_ {2} & y_ {3} \ end {vmatrix}}}$

Si las coordenadas se escriben en el sentido de las agujas del reloj, el valor del determinante será ${\ Displaystyle - \ mathbf {A}.}$

Reorganizando de otra manera

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ frac {1} {2}} | x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {1} -x_ {2 } y_ {1} -x_ {3} y_ {2} -x_ {1} y_ {3} |}$

que es la forma de la fórmula de los cordones. Esta fórmula se puede ampliar para encontrar el área de cualquier polígono, ya que un polígono simple se puede dividir en triángulos.

Prueba de un polígono cuadrilátero y general

Encontrar el área de un cuadrilátero demuestra cómo la fórmula de los cordones de los zapatos se generaliza a cualquier polígono al dividir el polígono en triángulos. Considere la figura de un cuadrilátero cuyas coordenadas están etiquetadas en sentido antihorario. El cuadrilátero se divide en dos triángulos con áreas y Usando la fórmula del triángulo en cada triángulo obtenemos ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$${\ Displaystyle \ mathbf {B}.}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ frac {1} {2}} (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {1} -x_ {2 } y_ {1} -x_ {3} y_ {2} -x_ {1} y_ {3})}$

${\ Displaystyle \ mathbf {B} = {\ frac {1} {2}} (x_ {1} y_ {3} + x_ {3} y_ {4} + x_ {4} y_ {1} -x_ {3 } y_ {1} -x_ {4} y_ {3} -x_ {1} y_ {4})}$

Dado que ambos triángulos se trazaron en sentido antihorario, ambas áreas son positivas y obtenemos el área del cuadrilátero sumando las dos áreas. El último término positivo y el último término negativo de cancelar con el primer término positivo y el primer término negativo de dar ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$${\ Displaystyle \ mathbf {B}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {\ text {quad.}} = {\ frac {1} {2}} (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3 } y_ {4} + x_ {4} y_ {1} -x_ {2} y_ {1} -x_ {3} y_ {2} -x_ {4} y_ {3} -x_ {1} y_ {4} ).}$

Ejemplos de

El usuario debe conocer los puntos del polígono en un plano cartesiano. Por ejemplo, tome un triángulo con coordenadas {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Tome la primera coordenada x y multiplíquela por el segundo valor y , luego tome la segunda coordenada x y multiplíquela por el tercer valor y , y repita tantas veces hasta que se haga para todos los puntos deseados. Esto se puede representar mediante la siguiente fórmula:

${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {\ text {tri.}} = {1 \ over 2} | x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {1 } -x_ {2} y_ {1} -x_ {3} y_ {2} -x_ {1} y_ {3} |}$

para x _i y y _{i que} representan cada coordenada respectiva. Esta fórmula es solo la expansión de las dadas anteriormente para el caso n = 3. Utilizándola, se puede encontrar que el área del triángulo es igual a la mitad del valor absoluto de 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, que es igual a 3. El número de variables depende del número de lados del polígono . Por ejemplo, un pentágono se definirá hasta x ₅ e y ₅ :

${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {\ text {pent.}} = {1 \ over 2} | x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {4 } + x_ {4} y_ {5} + x_ {5} y_ {1} -x_ {2} y_ {1} -x_ {3} y_ {2} -x_ {4} y_ {3} -x_ {5 } y_ {4} -x_ {1} y_ {5} |}$

y se definirá un cuadrilátero hasta x ₄ e y ₄ :

${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {\ text {quad.}} = {1 \ over 2} | x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {4 } + x_ {4} y_ {1} -x_ {2} y_ {1} -x_ {3} y_ {2} -x_ {4} y_ {3} -x_ {1} y_ {4} |.}$

Ejemplo más complejo

Considere el polígono definido por los puntos (3, 4), (5, 11), (12, 8), (9, 5) y (5, 6), como se ilustra en el diagrama.

El área de este polígono es:

${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {A} & = {1 \ over 2} \, {\ big |} 3 \ times 11 + 5 \ times 8 + 12 \ times 5 + 9 \ times 6 + 5 \ times 4 \\ & {} \ qquad {} -4 \ times 5-11 \ times 12-8 \ times 9-5 \ times 5-6 \ times 3 {\ big |} \\ [10pt] & = { 60 \ over 2} = 30. \ End {alineado}}}$

Etimología

La razón por la que esta fórmula se llama fórmula de cordones de zapatos se debe a un método común que se utiliza para evaluarla. Este método utiliza matrices . Como ejemplo, elija el triángulo con vértices (2, 4), (3, −8) y (1, 2). Luego construya la siguiente matriz “caminando” alrededor del triángulo y terminando con el punto inicial.

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 2 y 4 \\ 3 y -8 \\ 1 y 2 \\ 2 y 4 \ end {bmatrix}}}$

Primero, dibuje diagonales hacia abajo y hacia la derecha (como se muestra a continuación),

  

y multiplica los dos números conectados por cada barra, luego suma todos los productos: (2 × −8) + (3 × 2) + (1 × 4) = −6. Haga lo mismo con barras diagonales hacia abajo y hacia la izquierda (se muestra a continuación con barras inclinadas hacia abajo):

  

(4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8. Luego, calcula la diferencia absoluta de estos dos números: | (−6) - (8) | = 14. Reducir a la mitad da el área del triángulo: 7. Organizar los números de esta manera hace que la fórmula sea más fácil de recordar y evaluar. Con todas las barras dibujadas, la matriz se asemeja vagamente a un zapato con los cordones abrochados, dando lugar al nombre del algoritmo.

Generalización

En dimensiones más altas, el área de un polígono se puede calcular a partir de sus vértices utilizando la forma de álgebra exterior de la fórmula del cordón (por ejemplo, en 3d, la suma de los productos cruzados sucesivos ):

(cuando los vértices no son coplanares, se calcula el área del vector encerrada por el bucle, es decir, el área proyectada o "sombra" en el plano en el que es mayor).

Esta formulación también se puede generalizar para calcular el volumen de un politopo n-dimensional a partir de las coordenadas de sus vértices, o más exactamente, de su malla de hipersuperficie . Por ejemplo, el volumen de un poliedro tridimensional se puede encontrar triangulando su malla de superficie y sumando los volúmenes con signo de los tetraedros formados por cada triángulo de superficie y el origen:

$${\ Displaystyle V = {\ frac {1} {6}} \ izquierda \ | \ sum _ {F} v_ {a} \ wedge v_ {b} \ wedge v_ {c} \ right \ |}$$

donde la suma está sobre las caras y se debe tener cuidado de ordenar los vértices de manera consistente (todo en sentido horario o antihorario visto desde fuera del poliedro). Alternativamente, se puede derivar una expresión en términos de las áreas de las caras y las normales de la superficie usando el teorema de la divergencia (ver Poliedro § Volumen ).

Ver también

• Planimetro
• Teorema de pick
• Fórmula de garza

enlaces externos

• Video de Mathologer sobre la fórmula de los cordones de Gauss

Referencias