Diagrama de Schlegel - Schlegel diagram
En geometría , un diagrama de Schlegel es una proyección de un politopo desde dentro a través de un punto justo fuera de una de sus facetas . La entidad resultante es una subdivisión politopal de la faceta que, junto con la faceta original, es combinatoriamente equivalente al politopo original. El diagrama lleva el nombre de Victor Schlegel , quien en 1886 introdujo esta herramienta para estudiar las propiedades combinatorias y topológicas de los politopos. En la dimensión 3, un diagrama de Schlegel es una proyección de un poliedro en una figura plana ; en la dimensión 4, es una proyección de un politopo de 4 a 3 espacios . Como tal, los diagramas de Schlegel se utilizan comúnmente como un medio para visualizar politopos de cuatro dimensiones .
Construcción
El diagrama de Schlegel más elemental, el de un poliedro, fue descrito por Duncan Sommerville de la siguiente manera:
- Un método muy útil para representar un poliedro convexo es mediante proyección plana. Si se proyecta desde cualquier punto externo, dado que cada rayo lo corta dos veces, estará representado por un área poligonal dividida dos veces en polígonos. Siempre es posible mediante la elección adecuada del centro de proyección hacer que la proyección de una cara contenga completamente las proyecciones de todas las demás caras. Esto se llama diagrama de Schlegel del poliedro. El diagrama de Schlegel representa completamente la morfología del poliedro. A veces es conveniente proyectar el poliedro desde un vértice; este vértice se proyecta al infinito y no aparece en el diagrama, los bordes que lo atraviesan están representados por líneas dibujadas hacia afuera.
Sommerville también considera el caso de un simplex en cuatro dimensiones: "El diagrama de Schlegel del simplex en S 4 es un tetraedro dividido en cuatro tetraedros". De manera más general, un politopo en n dimensiones tiene un diagrama de Schegel construido por una proyección en perspectiva vista desde un punto fuera del politopo, por encima del centro de una faceta. Todos los vértices y aristas del politopo se proyectan sobre un hiperplano de esa faceta. Si el politopo es convexo, existirá un punto cerca de la faceta que mapea la faceta exterior y todas las demás facetas interiores, por lo que no es necesario que los bordes se crucen en la proyección.
Ejemplos
| Dodecaedro | 120 celdas |
|---|---|
 12 caras del pentágono en el plano |
 120 celdas dodecaédricas en 3 espacios |
Ver también
- Red (poliedro) : un enfoque diferente para la visualización al reducir la dimensión de un politopo es construir una red, desconectar facetas y desplegar hasta que las facetas puedan existir en un solo hiperplano. Esto mantiene la escala y la forma geométricas, pero hace que las conexiones topológicas sean más difíciles de ver.
Referencias
Otras lecturas
- Victor Schlegel (1883) Theorie der homogen zusammengesetzten Raumgebilde , Nova Acta, Ksl. Leop.-Carol. Deutsche Akademie der Naturforscher, Band XLIV, Nr. 4, Druck von E. Blochmann & Sohn en Dresde. [1]
- Victor Schlegel (1886) Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionalen Körper , Waren.
-
Coxeter, HSM ; Politopos regulares , (Methuen and Co., 1948). (pág.242)
- Politopos regulares , (3a edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8
- Grünbaum, Branko (2003), Kaibel, Volker; Klee, Victor ; Ziegler, Günter M. (eds.), Convex polytopes (2.a ed.), Nueva York y Londres: Springer-Verlag , ISBN 0-387-00424-6 .