Teorema de Routh - Routh's theorem

Teorema de routh

En geometría , el teorema de Routh determina la relación de áreas entre un triángulo dado y un triángulo formado por las intersecciones por pares de tres cevians . El teorema afirma que si en el triángulo de puntos , y se encuentran en segmentos , y , a continuación, escribir , y , el firmado el área del triángulo formado por las cevians , y es el área del triángulo veces ${\ Displaystyle ABC}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle E}$${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle BC}$${\ displaystyle CA}$${\ Displaystyle AB}$${\ displaystyle {\ tfrac {CD} {BD}}}$${\ Displaystyle = x}$${\ displaystyle {\ tfrac {AE} {CE}}}$${\ Displaystyle = y}$${\ displaystyle {\ tfrac {BF} {AF}}}$${\ Displaystyle = z}$${\ displaystyle AD}$${\ displaystyle BE}$${\ Displaystyle CF}$${\ Displaystyle ABC}$

${\ Displaystyle {\ frac {(xyz-1) ^ {2}} {(xy + y + 1) (yz + z + 1) (zx + x + 1)}}.}$

Este teorema fue dado por Edward John Routh en la página 82 de su Tratado sobre estática analítica con numerosos ejemplos en 1896. El caso particular se ha popularizado como el triángulo de una séptima área . El caso implica que las tres medianas son concurrentes (a través del centroide ). ${\ Displaystyle x = y = z = 2}$${\ Displaystyle x = y = z = 1}$

Prueba

Teorema de routh

Suponga que el área del triángulo es 1. Para triángulo y recta usando el teorema de Menelao , podríamos obtener: ${\ Displaystyle ABC}$${\ Displaystyle ABD}$${\ Displaystyle FRC}$

${\ Displaystyle {\ frac {AF} {FB}} \ times {\ frac {BC} {CD}} \ times {\ frac {DR} {RA}} = 1}$

Entonces, el área del triángulo es: ${\ Displaystyle {\ frac {DR} {RA}} = {\ frac {BF} {FA}} \ times {\ frac {DC} {CB}} = {\ frac {zx} {x + 1}}}$${\ Displaystyle ARC}$

${\ Displaystyle S_ {ARC} = {\ frac {AR} {AD}} S_ {ADC} = {\ frac {AR} {AD}} \ times {\ frac {DC} {BC}} S_ {ABC} = {\ frac {x} {zx + x + 1}}}$

De manera similar, podríamos saber: y Por lo tanto, el área del triángulo es: ${\ Displaystyle S_ {BPA} = {\ frac {y} {xy + y + 1}}}$${\ Displaystyle S_ {CQB} = {\ frac {z} {yz + z + 1}}}$${\ displaystyle PQR}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle S_ {PQR} = S_ {ABC} -S_ {ARC} -S_ {BPA} -S_ {CQB}}$

${\ Displaystyle = 1 - {\ frac {x} {zx + x + 1}} - {\ frac {y} {xy + y + 1}} - {\ frac {z} {yz + z + 1}} }$

${\ Displaystyle = {\ frac {(xyz-1) ^ {2}} {(xz + x + 1) (yx + y + 1) (zy + z + 1)}}.}$

Citas

La cita que se da comúnmente para el teorema de Routh es el Tratado de Routh sobre estática analítica con numerosos ejemplos , volumen 1, cap. IV, en la segunda edición de 1896 p. 82 , posiblemente porque esa edición ha sido más fácil de manejar. Sin embargo, Routh dio el teorema ya en la primera edición de 1891, Volumen 1, Cap. IV, pág. 89 . Aunque hay un cambio en la paginación entre las ediciones, la redacción de la nota al pie relevante se mantuvo igual.

Routh concluye su nota al pie ampliada con una advertencia :

"El autor no se ha encontrado con estas expresiones para las áreas de dos triángulos que ocurren a menudo. Por lo tanto, las ha colocado aquí para que el argumento en el texto se entienda más fácilmente".

Presumiblemente, Routh sintió que esas circunstancias no habían cambiado en los cinco años entre ediciones. Por otro lado, el título del libro de Routh había sido utilizado anteriormente por Isaac Todhunter ; ambos habían sido entrenados por William Hopkins .

Aunque Routh publicó el teorema en su libro, esa no es la primera declaración publicada. Se indica y se prueba como anexo (vii) en la página 33 de Soluciones de los problemas y jinetes de la Cámara del Senado de Cambridge para el año 1878, es decir, los ensayos matemáticos de ese año, y el enlace es https://archive.org/ detalles / solutionscambri00glaigoog . Se dice que el autor de los problemas con los números romanos es Glaisher . Routh era un famoso entrenador de Tripos Matemáticos cuando salió su libro y seguramente estaba familiarizado con el contenido del examen de Tripos de 1878. Así, su afirmación El autor no se ha encontrado con estas expresiones para las áreas de dos triángulos que suelen aparecer. es desconcertante.

Los problemas en este espíritu tienen una larga historia en las matemáticas recreativas y la pedagogía matemática , quizás una de las instancias más antiguas de ser la determinación de las proporciones de las catorce regiones del tablero Stomachion . Con el Cambridge de Routh en mente, el triángulo de una séptima área , asociado en algunos relatos con Richard Feynman , aparece, por ejemplo, como Pregunta 100, p. 80 , en Euclid's Elements of Geometry ( Quinta edición escolar ) , de Robert Potts (1805-1885) del Trinity College, publicado en 1859; compare también sus Preguntas 98, 99, en la misma página. Potts ocupó el puesto vigésimo sexto en Wrangler en 1832 y luego, como Hopkins y Routh, fue entrenador en Cambridge. Los escritos expositivos de Pott en geometría fueron reconocidos por una medalla en la Exposición Internacional de 1862, así como por un Hon. LL.D. del College of William and Mary , Williamsburg , Virginia .

Referencias

• Murray S. Klamkin y A. Liu (1981) "Tres pruebas más del teorema de Routh", Crux Mathematicorum 7: 199-203.
• HSM Coxeter (1969) Introducción a la geometría , declaración p. 211, prueba págs. 219-20, 2ª edición, Wiley, Nueva York.
• JS Kline y D. Velleman (1995) "Otra prueba más del teorema de Routh" (1995) Crux Mathematicorum 21: 37–40
• Ivan Niven (1976) "Una nueva prueba del teorema de Routh", Revista de matemáticas 49 (1): 25–7, doi : 10.2307 / 2689876
• Jay Warendorff, Teorema de Routh , Proyecto de demostraciones Wolfram .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Routh" . MathWorld .
• Teorema de Routh por productos cruzados en MathPages
• Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "Teorema de Routh revisitado", Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.