Pentágono de Robbins - Robbins pentagon

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Puede un pentágono de Robbins tener diagonales irracionales?

Un pentágono de Robbins con un área de 13,104
Un pentágono de Robbins con un área de 7392

En geometría , un pentágono de Robbins es un pentágono cíclico cuyas longitudes de lado y área son números racionales .

Historia

Los pentágonos de Robbins fueron nombrados por Buchholz y MacDougall (2008) en honor a David P. Robbins , quien previamente había dado una fórmula para el área de un pentágono cíclico en función de la longitud de sus bordes. Buchholz y MacDougall eligieron este nombre por analogía con el nombre de los triángulos Heron en honor al Héroe de Alejandría , el descubridor de la fórmula de Heron para el área de un triángulo en función de la longitud de sus bordes.

Área y perímetro

Cada pentágono de Robbins se puede escalar para que sus lados y área sean números enteros. Más claramente, Buchholz y MacDougall demostraron que si las longitudes de los lados son todas enteras y el área es racional, entonces el área es necesariamente también un número entero y el perímetro es necesariamente un número par .

Diagonales

Buchholz y MacDougall también demostraron que, en cada pentágono de Robbins, las cinco diagonales internas son números racionales o ninguna lo es. Si las cinco diagonales son racionales (el caso llamado pentágono Brahmagupta por Sastry (2005) ), entonces el radio de su círculo circunscrito también debe ser racional, y el pentágono puede dividirse en tres triángulos Heron cortándolo a lo largo de dos cruzando diagonales, o en cinco triángulos Heron cortándolo a lo largo de los cinco radios desde el centro del círculo hasta sus vértices.

Buchholz y MacDougall realizaron búsquedas computacionales de pentágonos de Robbins con diagonales irracionales, pero no pudieron encontrar ninguna. Sobre la base de este resultado negativo, sugirieron que los pentágonos de Robbins con diagonales irracionales pueden no existir.

Referencias

  • Buchholz, Ralph H .; MacDougall, James A. (2008), "Polígonos cíclicos con lados y áreas racionales" , Journal of Number Theory , 128 (1): 17–48, doi : 10.1016 / j.jnt.2007.05.005 , MR  2382768.
  • Robbins, David P. (1994), "Áreas de polígonos inscritos en un círculo", Geometría discreta y computacional , 12 (2): 223-236, doi : 10.1007 / BF02574377 , MR  1283889
  • Robbins, David P. (1995), "Áreas de polígonos inscritos en un círculo", The American Mathematical Monthly , 102 (6): 523–530, doi : 10.2307 / 2974766 , JSTOR  2974766 , MR  1336638.
  • Sastry, KRS (2005), "Construction of Brahmagupta n-gons" (PDF) , Forum Geometricorum , 5 : 119-126, MR  2195739.