Dominio Reinhardt - Reinhardt domain

En matemáticas , especialmente en varias variables complejas , un subconjunto abierto de se llama dominio de Reinhardt si implica para todos los números reales . Lleva el nombre de Karl Reinhardt . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathbf {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle (z_ {1}, \ dots, z_ {n}) \ in G}$${\ Displaystyle (e ^ {i \ theta _ {1}} z_ {1}, \ dots, e ^ {i \ theta _ {n}} z_ {n}) \ en G}$${\ Displaystyle \ theta _ {1}, \ puntos, \ theta _ {n}}$

Un dominio de Reinhardt se llama logarítmicamente convexo si la imagen del conjunto bajo el mapeo es un conjunto convexo en el espacio real . ${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle D ^ {*} = \ {z = (z_ {1}, \ ldots, z_ {n}) \ in D / z_ {1} \ cdots z_ {n} \ neq 0 \}}$${\ Displaystyle \ lambda: z \ rightarrow \ lambda (z) = (\ ln (| z_ {1} |), \ ldots, \ ln (| z_ {n} |))}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

La razón para estudiar este tipo de dominios es que los dominios de Reinhardt logarítmicamente convexos son los dominios de convergencia de series de potencias en varias variables complejas. En una variable compleja, un dominio de Reinhardt logarítmicamente convexo es simplemente un disco .

La intersección de dominios de Reinhardt logarítmicamente convexos sigue siendo un dominio de Reinhardt logarítmicamente convexo, por lo que para cada dominio de Reinhardt, hay un dominio de Reinhardt logarítmicamente convexo más pequeño que lo contiene.

Un ejemplo simple de dominios de Reinhardt logarítmicamente convexos es un polidisco , es decir, un producto de discos.

El resultado clásico de Thullen dice que un dominio de Reinhard limitado bidimensional que contiene el origen es biholomórfico a uno de los siguientes dominios siempre que la órbita del origen por el grupo de automorfismo tenga una dimensión positiva:

(1) (polidisc); ${\ Displaystyle \ {(z, w) \ in \ mathbf {C} ^ {2}; ~ | z | <1, ~ | w | <1 \}}$

(2) (unidad de bola); ${\ Displaystyle \ {(z, w) \ in \ mathbf {C} ^ {2}; ~ | z | ^ {2} + | w | ^ {2} <1 \}}$

(3) (dominio Thullen). ${\ Displaystyle \ {(z, w) \ in \ mathbf {C} ^ {2}; ~ | z | ^ {2} + | w | ^ {2 / p} <1 \} (p> 0, \ neq 1)}$

En 1978, Toshikazu Sunada estableció una generalización del resultado de Thullen y demostró que los dominios Reinhardt delimitados bidimensionales y son mutuamente biholomórficos si y solo si existe una transformación dada por , siendo una permutación de los índices), tal que . ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle G_ {1}}$${\ Displaystyle G_ {2}}$${\ Displaystyle \ varphi: \ mathbf {C} ^ {n} \ longrightarrow \ mathbf {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle z_ {i} \ mapsto r_ {i} z _ {\ sigma (i)} (r_ {i}> 0)}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ varphi (G_ {1}) = G_ {2}}$

Referencias

• Este artículo incorpora material del dominio Reinhardt en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
• Lars Hörmander . Introducción al análisis complejo en varias variables, North-Holland Publishing Company, Nueva York, Nueva York, 1973.
• Peter Thullen, Zu den Abbildungen durch analytische Funktionen mehrerer komplexer Veraenderlichen Die Invarianz des Mittelpunktes von Kreiskoerpern, Matt. Ana. 104 (1931), 244-259
• Tosikazu Sunada, Problema de equivalencia holomórfica para dominios limitados de Reinhaldt, Matemáticas. Ana. 235 (1978), 111–128
• ED Solomentsev. "Dominio Reinhardt" . Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 22 de febrero de 2015 .

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