Función reflectante Mironenko - Mironenko reflecting function

En matemáticas aplicadas, la función reflectante de un sistema diferencial conecta el estado pasado del sistema con el estado futuro del sistema mediante la fórmula El concepto de función reflectante fue introducido por Uladzimir Ivanavich Mironenka . ${\ Displaystyle \, F (t, x)}$ ${\ Displaystyle {\ dot {x}} = X (t, x)}$${\ Displaystyle \, x (-t)}$${\ Displaystyle \, x (t)}$${\ Displaystyle \, x (-t) = F (t, x (t)).}$

Definición

Para el sistema diferencial con la solución general en forma de Cauchy , la función reflectante del sistema se define mediante la fórmula${\ Displaystyle {\ dot {x}} = X (t, x)}$ ${\ Displaystyle \ varphi (t; t_ {0}, x)}$${\ Displaystyle F (t, x) = \ varphi (-t; t, x).}$

Solicitud

Si una función-vector es -periódica con respecto a , entonces es la transformación en período ( mapa de Poincaré ) del sistema diferencial.Por lo tanto, el conocimiento de la función reflectora nos da la oportunidad de averiguar las fechas iniciales de las soluciones periódicas de la diferencial. sistema e investigue la estabilidad de esas soluciones. ${\ Displaystyle X (t, x)}$${\ Displaystyle \, 2 \ omega}$${\ Displaystyle \, t}$${\ Displaystyle \, F (- \ omega, x)}$${\ Displaystyle \, [- \ omega; \ omega]}$${\ Displaystyle {\ dot {x}} = X (t, x).}$${\ Displaystyle \, (\ omega, x_ {0})}$${\ Displaystyle {\ dot {x}} = X (t, x)}$

Para la función reflectante del sistema, la relación básica ${\ Displaystyle \, F (t, x)}$${\ Displaystyle {\ dot {x}} = X (t, x)}$

${\ Displaystyle \, F_ {t} + F_ {x} X + X (-t, F) = 0, \ qquad F (0, x) = x.}$

está aguantando.

Por lo tanto, a veces tenemos la oportunidad de encontrar el mapa de Poincaré de los sistemas no integrables en cuadratura , incluso en funciones elementales .

Literatura

• Мироненко В. И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений . - Минск, Университетское, 1986. - 76 с.
• Мироненко В. И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. - Гомель: Мин. образов. РБ, ГГУ им. Ф. Скорины, 2004. - 196 с.

enlaces externos

• El sitio de la función reflectante
• Cómo construir sistemas diferenciales equivalentes