Línea real - Real line

La linea real

En matemáticas , la recta real o recta numérica real es la recta cuyos puntos son los números reales . Es decir, la línea real es el conjunto R de todos los números reales, visto como un espacio geométrico , es decir, el espacio euclidiano de dimensión uno. Se puede considerar como un espacio vectorial (o espacio afín ), un espacio métrico , un espacio topológico , un espacio de medida o un continuo lineal .

Al igual que el conjunto de números reales, la línea real generalmente se denota con el símbolo R (o alternativamente , la letra " R " en negrita ). Sin embargo, a veces se le denota R 1 para enfatizar su papel como el primer espacio euclidiano.

Este artículo se centra en los aspectos de R como espacio geométrico en topología , geometría y análisis real . Los números reales también juegan un papel importante en el álgebra como campo , pero en este contexto, rara vez se hace referencia a R como una línea. Para obtener más información sobre R en todas sus formas, consulte el número real .

Como un continuo lineal

El orden en la recta numérica
Cada conjunto en la recta numérica real tiene un supremo.

La línea real es un continuo lineal bajo el orden estándar < . Específicamente, la línea real está ordenada linealmente por < , y este orden es denso y tiene la propiedad de límite superior mínimo .

Además de las propiedades anteriores, la línea real no tiene ningún elemento máximo o mínimo . También tiene un subconjunto denso contable , a saber, el conjunto de números racionales . Es un teorema que cualquier continuo lineal con un subconjunto denso numerable y ningún elemento máximo o mínimo es orden-isomorfo a la línea real.

La línea real también satisface la condición de cadena contable : cada colección de mutuamente disjuntos , no vacíos abiertos intervalos en R es contable. En teoría de la orden , el famoso problema Suslin pregunta si cada continuum lineal que satisface la condición de cadena contable que no tiene máximo o mínimo elemento es necesariamente el fin-isomorfo a R . Se ha demostrado que esta afirmación es independiente del sistema axiomático estándar de la teoría de conjuntos conocido como ZFC .

Como espacio métrico

La métrica de la línea real es la diferencia absoluta .
An ε - bola alrededor de un número a

La línea real forma un espacio métrico , con la función de distancia dada por diferencia absoluta:

El tensor métrico es claramente la métrica euclidiana unidimensional . Dado que la métrica euclidiana n -dimensional se puede representar en forma matricial como la matriz identidad n- por- n , la métrica en la línea real es simplemente la matriz identidad 1-por-1, es decir, 1.

Si p R y ε > 0 , entonces la ε - bola en R centrada en p es simplemente el intervalo abierto ( p - ε , p + ε ) .

Esta línea real tiene varias propiedades importantes como espacio métrico:

Como espacio topológico

La línea real se puede compactar agregando un punto en el infinito .

La línea real tiene una topología estándar , que se puede introducir de dos formas diferentes y equivalentes. Primero, dado que los números reales están totalmente ordenados , llevan una topología de orden . En segundo lugar, los números reales heredan una topología métrica de la métrica definida anteriormente. La topología de orden y la topología métrica en R son las mismas. Como espacio topológico, la línea real es homeomorfa al intervalo abierto (0, 1) .

La línea real es trivialmente una variedad topológica de dimensión 1 . Hasta el homeomorfismo, es uno de los dos únicos 1-múltiples conectados diferentes sin límite , el otro es el círculo . También tiene una estructura diferenciable estándar, lo que lo convierte en una variedad diferenciable . (Hasta el difeomorfismo , solo hay una estructura diferenciable que admite el espacio topológico).

La línea real es un espacio localmente compacto y un espacio paracompacto , así como segundo contable y normal . También está conectado a una ruta y , por lo tanto, también está conectado , aunque se puede desconectar quitando cualquier punto. La línea real también es contráctil y, como tal, todos sus grupos de homotopía y grupos de homología reducida son cero.

Como espacio localmente compacto, la línea real se puede compactar de varias formas diferentes. La compactificación de un punto de R es un círculo (es decir, la línea proyectiva real ), y el punto extra se puede considerar como un infinito sin signo. Alternativamente, la línea real tiene dos extremos , y la compactación final resultante es la línea real extendida [−∞, + ∞] . También existe la compactación Stone-Čech de la línea real, que implica agregar un número infinito de puntos adicionales.

En algunos contextos, es útil colocar otras topologías en el conjunto de números reales, como la topología de límite inferior o la topología de Zariski . Para los números reales, este último es el mismo que la topología de complemento finito .

Como espacio vectorial

La biyección entre puntos en la línea real y vectores.

La línea real es un espacio vectorial sobre el campo R de números reales (es decir, sobre sí misma) de dimensión 1 . Tiene la multiplicación habitual como producto interno , lo que lo convierte en un espacio vectorial euclidiano . La norma definida por este producto interno es simplemente el valor absoluto .

Como espacio de medida

La línea real lleva una medida canónica , a saber, la medida de Lebesgue . Esta medida se puede definir como la finalización de una medida de Borel definida en R , donde la medida de cualquier intervalo es la longitud del intervalo.

La medida de Lebesgue en la línea real es uno de los ejemplos más simples de una medida de Haar en un grupo localmente compacto .

En álgebras reales

La línea real es un unidimensional subespacio de un verdadero álgebra A donde R A . Por ejemplo, en el plano complejo z = x + i y , el subespacio { z  : y = 0} es una línea real. Del mismo modo, el álgebra de cuaterniones

q = w + x yo + y j + z k

tiene una línea real en el subespacio { q  : x = y = z = 0}.

Cuando el álgebra real es una suma directa y luego una conjugación en A se introduce por el mapeo de subespacio V . De esta manera, la línea real consta de los puntos fijos de la conjugación.

Ver también

Referencias

  • Munkres, James (1999). Topología (2ª ed.). Prentice Hall . ISBN   0-13-181629-2 .
  • Rudin, Walter (1966). Análisis real y complejo . McGraw-Hill. ISBN   0-07-100276-6 .