Cuadratura (matemáticas) - Quadrature (mathematics)

Para otros usos, consulte Cuadratura (desambiguación) .

En matemáticas , cuadratura es un término histórico que significa el proceso de determinar el área . Este término todavía se usa hoy en día en el contexto de ecuaciones diferenciales , donde "resolver una ecuación por cuadratura" o "reducción a cuadratura" significa expresar su solución en términos de integrales .

Los problemas de cuadratura sirvieron como una de las principales fuentes de problemas en el desarrollo del cálculo e introducen temas importantes en el análisis matemático .

Historia

La luna de Hipócrates fue la primera figura curva en tener su área exacta calculada matemáticamente.

Los matemáticos griegos entendieron la determinación de un área de una figura como el proceso de construir geométricamente un cuadrado que tiene la misma área ( cuadratura ), de ahí el nombre de cuadratura para este proceso. Los geómetras griegos no siempre tuvieron éxito (ver cuadratura del círculo ), pero sí realizaron cuadraturas de algunas figuras cuyos lados no eran simplemente segmentos de línea, como el lunes de Hipócrates y la cuadratura de la parábola . Según cierta tradición griega, estas construcciones tenían que realizarse utilizando solo un compás y una regla , aunque no todos los matemáticos griegos se adhirieron a esta máxima.

Para una cuadratura de un rectángulo con los lados a y b es necesario construir un cuadrado con el lado (la media geométrica de una y b ). Para este fin, es posible utilizar el siguiente: Si uno dibuja el círculo de diámetro hecha de unirse a segmentos de línea de longitudes una y b , entonces la altura ( BH en el diagrama) del segmento de línea dibujada perpendicular al diámetro, de la punto de su conexión con el punto donde cruza el círculo, es igual a la media geométrica de una y b . Una construcción geométrica similar resuelve los problemas de cuadratura de un paralelogramo y de un triángulo.

Arquímedes demostró que el área de un segmento parabólico es 4/3 del área de un triángulo inscrito.

Los problemas de cuadratura para figuras curvilíneas son mucho más difíciles. En el siglo XIX se demostró que la cuadratura del círculo con compás y regla no era posible. Sin embargo, para algunas figuras se puede realizar una cuadratura. Las cuadraturas de la superficie de una esfera y un segmento de parábola descubiertos por Arquímedes se convirtieron en el mayor logro de análisis en la antigüedad.

  • El área de la superficie de una esfera es igual a cuatro veces el área del círculo formado por un gran círculo de esta esfera.
  • El área de un segmento de una parábola determinada por una línea recta que lo corta es 4/3 del área de un triángulo inscrito en este segmento.

Para las pruebas de estos resultados, Arquímedes utilizó el método de agotamiento atribuido a Eudoxo .

En la Europa medieval, cuadratura significaba el cálculo del área por cualquier método. La mayoría de las veces se utilizó el método de los indivisibles ; era menos riguroso que las construcciones geométricas de los griegos, pero era más simple y más poderoso. Con su ayuda, Galileo Galilei y Gilles de Roberval encontraron el área de un arco cicloide , Grégoire de Saint-Vincent investigó el área bajo una hipérbola ( Opus Geometricum , 1647), y Alphonse Antonio de Sarasa , alumno y comentarista de Saint-Vincent, señaló la relación de esta área con los logaritmos .

John Wallis algebrizó este método; escribió en su Arithmetica Infinitorum (1656) algunas series que son equivalentes a lo que ahora se llama la integral definida , y calculó sus valores. Isaac Barrow y James Gregory avanzaron aún más: cuadraturas para algunas curvas algebraicas y espirales . Christiaan Huygens realizó con éxito una cuadratura del área de superficie de algunos sólidos de revolución .

La cuadratura de la hipérbola de Saint-Vincent y de Sarasa proporcionó una nueva función , el logaritmo natural , de importancia crítica. Con la invención del cálculo integral llegó un método universal para el cálculo de áreas. En respuesta, el término cuadratura se ha vuelto tradicional y, en cambio, la frase moderna encontrar el área se usa más comúnmente para lo que técnicamente es el cálculo de una integral definida univariante .

Ver también

Notas

Referencias