Barrera de potencial rectangular - Rectangular potential barrier

En mecánica cuántica , la barrera de potencial rectangular (o, a veces, cuadrada ) es un problema unidimensional estándar que demuestra los fenómenos de tunelización mecánica de ondas (también llamado "tunelización cuántica") y reflexión mecánica de ondas. El problema consiste en resolver la ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo para una partícula que se encuentra con una barrera de energía potencial rectangular . Por lo general, se asume, como aquí, que una partícula libre incide en la barrera desde la izquierda.

Aunque clásicamente una partícula que se comporte como una masa puntual se reflejaría si su energía es menor que , una partícula que en realidad se comporte como una onda de materia tiene una probabilidad distinta de cero de penetrar la barrera y continuar su viaje como una onda en el otro lado. En la física de ondas clásica, este efecto se conoce como acoplamiento de ondas evanescentes . La probabilidad de que la partícula atraviese la barrera viene dada por el coeficiente de transmisión , mientras que la probabilidad de que se refleje está dada por el coeficiente de reflexión . La ecuación de onda de Schrödinger permite calcular estos coeficientes. ${\ Displaystyle V_ {0}}$

Cálculo

Dispersión en una barrera potencial finita de altura . Se indican las amplitudes y la dirección de las ondas en movimiento izquierda y derecha. En rojo, aquellas ondas utilizadas para la derivación de la amplitud de reflexión y transmisión. para esta ilustración.${\ Displaystyle V_ {0}}$${\ Displaystyle E> V_ {0}}$

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para la función de onda dice ${\ Displaystyle \ psi (x)}$

${\ Displaystyle H \ psi (x) = \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V ( x) \ derecha] \ psi (x) = E \ psi (x)}$

donde es el hamiltoniano , es la constante de Planck (reducida) , es la masa , la energía de la partícula y ${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle \ hbar}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle E}$

${\ Displaystyle V (x) = V_ {0} [\ Theta (x) - \ Theta (xa)]}$

es el potencial de barrera con altura y ancho .${\ Displaystyle V_ {0}> 0}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle \ Theta (x) = 0, \; x <0; \; \ Theta (x) = 1, \; x> 0}$

es la función escalón Heaviside , es decir

${\ displaystyle V (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} x <0 \\ V_ {0} & {\ text {if}} 0 <x <a \\ 0 & {\ text {if}} a <x \ end {cases}}}$

La barrera se coloca entre y . La barrera se puede cambiar a cualquier posición sin cambiar los resultados. El primer término del hamiltoniano es la energía cinética. ${\ Displaystyle x = 0}$${\ Displaystyle x = a}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi}$

La barrera divide el espacio en tres partes ( ). En cualquiera de estas partes, el potencial es constante, lo que significa que la partícula es casi libre, y la solución de la ecuación de Schrödinger se puede escribir como una superposición de ondas en movimiento izquierda y derecha (ver partícula libre ). Si${\ Displaystyle x <0,0 <x <a, x> a}$${\ Displaystyle E> V_ {0}}$

${\ Displaystyle \ psi _ {L} (x) = A_ {r} e ^ {ik_ {0} x} + A_ {l} e ^ {- ik_ {0} x} \ quad x <0}$

${\ Displaystyle \ psi _ {C} (x) = B_ {r} e ^ {ik_ {1} x} + B_ {l} e ^ {- ik_ {1} x} \ quad 0 <x <a}$

${\ Displaystyle \ psi _ {R} (x) = C_ {r} e ^ {ik_ {0} x} + C_ {l} e ^ {- ik_ {0} x} \ quad x> a}$

donde los números de onda están relacionados con la energía a través de

${\ Displaystyle k_ {0} = {\ sqrt {2mE / \ hbar ^ {2}}} \ quad \ quad \ quad \ quad x <0 \ quad o \ quad x> a}$

${\ Displaystyle k_ {1} = {\ sqrt {2m (E-V_ {0}) / \ hbar ^ {2}}} \ quad 0 <x <a}$.

El índice / sobre los coeficientes y denota la dirección del vector de velocidad. Tenga en cuenta que, si la energía de la partícula está por debajo de la altura de la barrera, se vuelve imaginaria y la función de onda está decayendo exponencialmente dentro de la barrera. Sin embargo, mantenemos la notación r / l aunque las ondas ya no se propaguen en este caso. Aquí asumimos . El caso se trata a continuación. ${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle l}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle k_ {1}}$${\ Displaystyle E \ neq V_ {0}}$${\ Displaystyle E = V_ {0}}$

Los coeficientes deben calcularse a partir de las condiciones de contorno de la función de onda en y . La función de onda y su derivada deben ser continuas en todas partes, por lo que ${\ Displaystyle A, B, C}$${\ Displaystyle x = 0}$${\ Displaystyle x = a}$

${\ Displaystyle \ psi _ {L} (0) = \ psi _ {C} (0)}$

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ psi _ {L} (0) = {\ frac {d} {dx}} \ psi _ {C} (0)}$

${\ Displaystyle \ psi _ {C} (a) = \ psi _ {R} (a)}$

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ psi _ {C} (a) = {\ frac {d} {dx}} \ psi _ {R} (a)}$.

Al insertar las funciones de onda, las condiciones de contorno dan las siguientes restricciones sobre los coeficientes

${\ Displaystyle A_ {r} + A_ {l} = B_ {r} + B_ {l}}$

${\ Displaystyle ik_ {0} (A_ {r} -A_ {l}) = ik_ {1} (B_ {r} -B_ {l})}$

${\ Displaystyle B_ {r} e ^ {iak_ {1}} + B_ {l} e ^ {- iak_ {1}} = C_ {r} e ^ {iak_ {0}} + C_ {l} e ^ { -iak_ {0}}}$

${\ Displaystyle ik_ {1} (B_ {r} e ^ {iak_ {1}} - B_ {l} e ^ {- iak_ {1}}) = ik_ {0} (C_ {r} e ^ {iak_ { 0}} - C_ {l} e ^ {- iak_ {0}})}$.

E = V ₀

Si la energía es igual a la altura de la barrera, el segundo diferencial de la función de onda dentro de la región de la barrera es 0 y, por lo tanto, las soluciones de la ecuación de Schrödinger ya no son exponenciales sino funciones lineales de la coordenada espacial.

${\ Displaystyle \ psi _ {C} (x) = B_ {1} + B_ {2} x \ quad 0 <x <a.}$

La solución completa de la ecuación de Schrödinger se encuentra de la misma manera que la anterior al hacer coincidir las funciones de onda y sus derivadas en y . Eso da como resultado las siguientes restricciones sobre los coeficientes: ${\ Displaystyle x = 0}$${\ Displaystyle x = a}$

${\ Displaystyle A_ {r} + A_ {l} = B_ {1} \, \!}$

${\ Displaystyle ik_ {0} (A_ {r} -A_ {l}) = B_ {2} \, \!}$

${\ Displaystyle B_ {1} + B_ {2} a = C_ {r} e ^ {iak_ {0}} + C_ {l} e ^ {- iak_ {0}}}$

${\ Displaystyle B_ {2} = ik_ {0} (C_ {r} e ^ {iak_ {0}} - C_ {l} e ^ {- iak_ {0}})}$.

Transmisión y reflexión

En este punto, es instructivo comparar la situación con el caso clásico. En ambos casos, la partícula se comporta como una partícula libre fuera de la región de barrera. Una partícula clásica con una energía mayor que la altura de la barrera que siempre pasar la barrera, y una partícula clásica con el incidente en la barrera sería siempre se reflejan. ${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle V_ {0}}$${\ Displaystyle E <V_ {0}}$

Para estudiar el caso cuántico, considere la siguiente situación: una partícula incidente en la barrera desde el lado izquierdo ( ). Puede reflejarse ( ) o transmitirse ( ). ${\ Displaystyle A_ {r}}$${\ Displaystyle A_ {l}}$${\ Displaystyle C_ {r}}$

Para encontrar las amplitudes de reflexión y transmisión de incidencia desde la izquierda, colocamos las ecuaciones anteriores (partícula entrante), (reflexión), = 0 (sin partícula entrante desde la derecha) y (transmisión). Luego eliminamos los coeficientes de la ecuación y resolvemos y . ${\ Displaystyle A_ {r} = 1}$${\ Displaystyle A_ {l} = r}$${\ Displaystyle C_ {l}}$${\ Displaystyle C_ {r} = t}$${\ Displaystyle B_ {l}, B_ {r}}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle t}$

El resultado es:

${\ Displaystyle t = {\ frac {4k_ {0} k_ {1} e ^ {- ia (k_ {0} -k_ {1})}} {(k_ {0} + k_ {1}) ^ {2 } -e ^ {2iak_ {1}} (k_ {0} -k_ {1}) ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle r = {\ frac {(k_ {0} ^ {2} -k_ {1} ^ {2}) \ sin (ak_ {1})} {2ik_ {0} k_ {1} \ cos (ak_ {1}) + (k_ {0} ^ {2} + k_ {1} ^ {2}) \ sin (ak_ {1})}}.}$

Debido a la simetría especular del modelo, las amplitudes de incidencia de la derecha son las mismas que las de la izquierda. Tenga en cuenta que estas expresiones son válidas para cualquier energía . ${\ Displaystyle E> 0}$

Análisis de las expresiones obtenidas

E < V ₀

Probabilidad de transmisión a través de una barrera de potencial finito para = 1, 3 y 7. Punteado: resultado clásico. Línea continua: resultado de la mecánica cuántica.${\ displaystyle {\ sqrt {2mV_ {0}}} a / \ hbar}$

El resultado sorprendente es que para energías inferiores a la altura de la barrera, existe una probabilidad distinta de cero ${\ Displaystyle E <V_ {0}}$

${\ Displaystyle T = | t | ^ {2} = {\ frac {1} {1 + {\ frac {V_ {0} ^ {2} \ sinh ^ {2} (k_ {1} a)} {4E (V_ {0} -E)}}}}}$

para que la partícula se transmita a través de la barrera, con . Este efecto, que difiere del caso clásico, se denomina tunelización cuántica . La transmisión se suprime exponencialmente con el ancho de la barrera, lo que se puede entender a partir de la forma funcional de la función de onda: fuera de la barrera oscila con el vector de onda , mientras que dentro de la barrera se amortigua exponencialmente en una distancia . Si la barrera es mucho más ancha que esta longitud de desintegración, las partes izquierda y derecha son virtualmente independientes y, como consecuencia, se suprimen los túneles. ${\ Displaystyle k_ {1} = {\ sqrt {2m (V_ {0} -E) / \ hbar ^ {2}}}}$${\ Displaystyle k_ {0}}$${\ Displaystyle 1 / k_ {1}}$

E > V ₀

En este caso

${\ Displaystyle T = | t | ^ {2} = {\ frac {1} {1 + {\ frac {V_ {0} ^ {2} \ sin ^ {2} (k_ {1} a)} {4E (E-V_ {0})}}}}}$,

donde . ${\ displaystyle k_ {1} = {\ sqrt {2m (E-V_ {0}) / \ hbar ^ {2}}}}$

Igualmente sorprendente es que para energías mayores que la altura de la barrera , la partícula puede reflejarse desde la barrera con una probabilidad distinta de cero. ${\ Displaystyle E> V_ {0}}$

${\ Displaystyle \, R = | r | ^ {2} = 1-T.}$

De hecho, las probabilidades de transmisión y reflexión están oscilando con . El resultado clásico de transmisión perfecta sin ningún reflejo ( , ) se reproduce no solo en el límite de alta energía sino también cuando la energía y el ancho de la barrera satisfacen , donde (ver picos cercanos y 1.8 en la figura anterior). Tenga en cuenta que las probabilidades y amplitudes tal como están escritas son para cualquier energía (arriba / abajo) de la altura de la barrera. ${\ Displaystyle k_ {1} a}$${\ Displaystyle T = 1}$${\ Displaystyle R = 0}$${\ Displaystyle E \ gg V_ {0}}$${\ Displaystyle k_ {1} a = n \ pi}$${\ Displaystyle n = 1,2, ...}$${\ displaystyle E / V_ {0} = 1.2}$

E = V ₀

La probabilidad de transmisión en se evalúa como ${\ Displaystyle E = V_ {0}}$

${\ Displaystyle T = {\ frac {1} {1 + ma ^ {2} V_ {0} / 2 \ hbar ^ {2}}}}$.

Observaciones y aplicaciones

El cálculo presentado anteriormente puede parecer al principio poco realista y poco útil. Sin embargo, ha demostrado ser un modelo adecuado para una variedad de sistemas de la vida real. Un ejemplo de ello son las interfaces entre dos materiales conductores . En la mayor parte de los materiales, el movimiento de los electrones es casi libre y puede describirse mediante el término cinético en el hamiltoniano anterior con una masa efectiva . A menudo, las superficies de tales materiales están cubiertas con capas de óxido o no son ideales por otras razones. Esta capa delgada, no conductora, puede modelarse luego mediante un potencial de barrera como el anterior. Los electrones pueden hacer un túnel de un material a otro dando lugar a una corriente. ${\ Displaystyle m}$

El funcionamiento de un microscopio de efecto túnel (STM) se basa en este efecto de efecto túnel. En ese caso, la barrera se debe al espacio entre la punta del STM y el objeto subyacente. Dado que la corriente del túnel depende exponencialmente del ancho de la barrera, este dispositivo es extremadamente sensible a las variaciones de altura en la muestra examinada.

El modelo anterior es unidimensional, mientras que el espacio es tridimensional. Se debe resolver la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones. Por otro lado, muchos sistemas solo cambian a lo largo de una dirección de coordenadas y son traslacionalmente invariantes a lo largo de las demás; son separables . La ecuación de Schrödinger puede entonces reducirse al caso considerado aquí por un ansatz para la función de onda del tipo: . ${\ Displaystyle \ Psi (x, y, z) = \ psi (x) \ phi (y, z)}$

Para otro modelo relacionado de una barrera, consulte la barrera de potencial delta (QM) , que puede considerarse como un caso especial de la barrera de potencial finito. Todos los resultados de este artículo se aplican inmediatamente a la barrera del potencial delta tomando los límites mientras se mantienen constantes. ${\ Displaystyle V_ {0} \ to \ infty, \ quad a \ to 0}$${\ Displaystyle V_ {0} a = \ lambda}$

Ver también

• Potencial Morse / de largo alcance
• Potencial de paso
• Pozo de potencial finito
• principio de exclusión de Pauli

Referencias

• Griffiths, David J. (2004). Introducción a la Mecánica Cuántica (2ª ed.) . Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Laloë, Franck; et al. (1996). Mecánica cuántica . transl. del francés de Susan Reid Hemley. Wiley-Interscience: Wiley. págs.  231 –233. ISBN 978-0-471-56952-7.

enlaces externos