Número polidivisible - Polydivisible number

En matemáticas un número polidivisible (o número mágico ) es un número en una base numérica dada con dígitos abcde ... que tiene las siguientes propiedades:

Su primer dígito a no es 0.
El número formado por sus dos primeros dígitos ab es un múltiplo de 2.
El número formado por sus primeros tres dígitos abc es un múltiplo de 3.
El número formado por sus primeros cuatro dígitos abcd es un múltiplo de 4.
etc.

Definición

Sea un entero positivo y sea el número de dígitos de n escritos en base b . El número n es un número polidivisible si para todos , ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle k = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$ ${\ Displaystyle 1 \ leq i \ leq k}$

{\ Displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {n} {b ^ {ki}}} \ right \ rfloor \ equiv 0 {\ pmod {i}}}

.

Ejemplo

Por ejemplo, 10801 es un número polidivisible de siete dígitos en base 4 , como

{\ Displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {10801} {4 ^ {7-1}}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ frac {10801} {4096}} \ right \ rfloor = 2 \ equiv 0 {\ pmod {1}},}

{\ Displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {10801} {4 ^ {7-2}}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ frac {10801} {1024}} \ right \ rfloor = 10 \ equiv 0 {\ pmod {2}},}

{\ Displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {10801} {4 ^ {7-3}}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ frac {10801} {256}} \ right \ rfloor = 42 \ equiv 0 {\ pmod {3}},}

{\ Displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {10801} {4 ^ {7-4}}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ frac {10801} {64}} \ right \ rfloor = 168 \ equiv 0 {\ pmod {4}},}

{\ Displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {10801} {4 ^ {7-5}}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ frac {10801} {16}} \ right \ rfloor = 675 \ equiv 0 {\ pmod {5}},}

{\ Displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {10801} {4 ^ {7-6}}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ frac {10801} {4}} \ right \ rfloor = 2700 \ equiv 0 {\ pmod {6}},}

{\ Displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {10801} {4 ^ {7-7}}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ frac {10801} {1}} \ right \ rfloor = 10801 \ equiv 0 {\ pmod {7}}.}

Enumeración

Para cualquier base dada , solo hay un número finito de números polidivisibles. ${\ Displaystyle b}$

Número máximo polidivisible

La siguiente tabla enumera los números máximos polidivisibles para algunas bases b , donde $A - Z$ representan valores de dígitos del 10 al 35.

Base ${\ Displaystyle b}$	Número máximo polidivisible ( OEIS : A109032 )	Número de dígitos base b ( OEIS : A109783 )
2	$102$	2
3	$20 0220 3$	6
4	$222 0301 4$	7
5	$40220 42200 5$	10
10	$36085 28850 36840 07860 36725$	25
12	$6068 903468 50BA68 00B036 206464 12$	28

Estimación para y ${\ Displaystyle F_ {b} (n)}$ ${\ Displaystyle \ Sigma (b)}$

Gráfico del número de números polidivisibles de dígitos en base 10 vs estimación de

{\ Displaystyle n}

{\ Displaystyle F_ {10} (n)}

{\ Displaystyle F_ {10} (n)}

Sea el número de dígitos. La función determina el número de números polidivisibles que tiene dígitos en base , y la función es el número total de números polidivisibles en base . ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle F_ {b} (n)}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle \ Sigma (b)}$ ${\ Displaystyle b}$

Si es un número polidivisible en base con dígitos, entonces se puede extender para crear un número polidivisible con dígitos si hay un número entre y que es divisible por . Si es menor o igual a , entonces siempre es posible extender un número polidivisible de dígitos a un número polidivisible de dígitos de esta manera, y de hecho puede haber más de una extensión posible. Si es mayor que , no siempre es posible extender un número polidivisible de esta manera y, a medida que aumenta, las posibilidades de poder extender un número polidivisible dado se reducen. En promedio, cada número polidivisible con dígitos se puede extender a un número polidivisible con dígitos de diferentes formas. Esto conduce a la siguiente estimación para : ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle n-1}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ displaystyle bk}$ ${\ Displaystyle b (k + 1) -1}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle n-1}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n-1}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle {\ frac {b} {n}}}$ ${\ Displaystyle F_ {b} (n)}$

{\ Displaystyle F_ {b} (n) \ approx (b-1) {\ frac {b ^ {n-1}} {n!}}.}

Sumando todos los valores de n, esta estimación sugiere que el número total de números polidivisibles será aproximadamente

{\ Displaystyle \ Sigma (b) \ approx {\ frac {b-1} {b}} (e ^ {b} -1)}

Base ${\ Displaystyle b}$	${\ Displaystyle \ Sigma (b)}$	Est. de ${\ Displaystyle \ Sigma (b)}$	Error de porcentaje
2	2	${\ Displaystyle {\ frac {e ^ {2} -1} {2}} \ approx 3,1945}$	59,7%
3	15	${\ displaystyle {\ frac {2} {3}} (e ^ {3} -1) \ aproximadamente 12,725}$	-15,1%
4	37	${\ Displaystyle {\ frac {3} {4}} (e ^ {4} -1) \ approx 40.199}$	8,64%
5	127	${\ displaystyle {\ frac {4} {5}} (e ^ {5} -1) \ aproximadamente 117,93}$	−7,14%
10	20456	${\ Displaystyle {\ frac {9} {10}} (e ^ {10} -1) \ approx 19823}$	-3,09%

Bases específicas

Todos los números se representan en base , usando A − Z para representar valores de dígitos del 10 al 35. ${\ Displaystyle b}$

Base 2

Longitud n	F ₂ ( n )	Est. de F ₂ ( n )	Números polidivisibles
1	1	1	1
2	1	1	10

Base 3

Longitud n	F ₃ ( n )	Est. de F ₃ ( n )	Números polidivisibles
1	2	2	1, 2
2	3	3	11, 20, 22
3	3	3	110, 200, 220
4	3	2	1100, 2002, 2200
5	2	1	11002, 20022
6	2	1	110020, 200220
7	0	0	${\ Displaystyle \ varnothing}$

Base 4

Longitud n	F ₄ ( n )	Est. de F ₄ ( n )	Números polidivisibles
1	3	3	1, 2, 3
2	6	6	10, 12, 20, 22, 30, 32
3	8	8	102, 120, 123, 201, 222, 300, 303, 321
4	8	8	1020, 1200, 1230, 2010, 2220, 3000, 3030, 3210
5	7	6	10202, 12001, 12303, 20102, 22203, 30002, 32103
6	4	4	120012, 123030, 222030, 321030
7	1	2	2220301
8	0	1	${\ Displaystyle \ varnothing}$

Base 5

Los números polidivisibles en base 5 son

1, 2, 3, 4, 11, 13, 20, 22, 24, 31, 33, 40, 42, 44, 110, 113, 132, 201, 204, 220, 223, 242, 311, 314, 330, 333, 402, 421, 424, 440, 443, 1102, 1133, 1322, 2011, 2042, 2200, 2204, 2231, 2420, 2424, 3113, 3140, 3144, 3302, 3333, 4022, 4211, 4242, 4400, 4404, 4431, 11020, 11330, 13220, 20110, 20420, 22000, 22040, 22310, 24200, 24240, 31130, 31400, 31440, 33020, 33330, 40220, 42110, 42420, 44000, 44040, 44310, 110204, 113300, 132204, 201102, 204204, 220000, 220402, 223102, 242000, 242402, 311300, 314000, 314402, 330204, 333300, 402204, 421102, 424204, 440000, 440402, 443102, 1133000, 1322043, 2011021 22040, 20420402 2424024, 3113002, 3140000, 3144021, 4022042, 4211020, 4431024, 11330000, 13220431, 20110211, 20420404, 24200031, 31400004, 31440211, 40220422, 42110202, 44310242, 132204314, 20110202, 44310242, 132204314, 2012010311, 40220431, 20110211, 20420404, 24200031, 31400004, 31440211, 40220422, 42110202, 44310242, 132204314 3140000440, 4022042200

Los números polidivisibles de base 5 más pequeños con n dígitos son

1, 11, 110, 1102, 11020, 110204, 1133000, 11330000, 132204314, 1322043140, ninguno ...

Los números polidivisibles de base 5 más grandes con n dígitos son

4, 44, 443, 4431, 44310, 443102, 4431024, 44310242, 443102421, 4022042200, ninguno ...

El número de números polidivisibles de base 5 con n dígitos es

4, 10, 17, 21, 21, 21, 13, 10, 6, 4, 0, 0, 0 ...

Longitud n	F ₅ ( n )	Est. de F ₅ ( n )
1	4	4
2	10	10
3	17	17
4	21	21
5	21	21
6	21	17
7	13	12
8	10	8
9	6	4
10	4	2

Base 10

Los números polidivisibles en base 10 son

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 102, 105, 108, 120, 123, 126, 129, 141, 144, 147, 162, 165, 168, 180, 183, 186, 189, ... (secuencia A144688 en el OEIS )

Los números polidivisibles de base 10 más pequeños con n dígitos son

1, 10, 102, 1020, 10200, 102000, 1020005, 10200056, 102000564, 1020005640, 10200056405, 102006162060, 1020061620604, 10200616206046, 102,006,162,060,465, 1020061620604656, 10200616206046568, 108054801036000018, 1080548010360000180, 10805480103600001800, ... (secuencia A214437 en la OEIS )

Los números polidivisibles de base 10 más grandes con n dígitos son

9, 98, 987, 9876, 98765, 987654, 9876545, 98765456, 987654564, 9876545640, 98765456405, 987606963096, 9876069630960, 98760696309604, 987,606,963,096,045, 9876062430364208, 98485872309636009, 984450645096105672, 9812523240364656789, 96685896604836004260, ... (secuencia A225608 en la OEIS )

El número de números polidivisibles de base 10 con n dígitos es

9, 45, 150, 375, 750, 1200, 1713, 2227, 2492, 2492, 2225, 2041, 1575, 1132, 770, 571, 335, 180, 90, 44, 18, 12, 6, 3, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ... (secuencia A143671 en la OEIS )

Longitud n	F ₁₀ ( n )	Est. de F ₁₀ ( n )
1	9	9
2	45	45
3	150	150
4	375	375
5	750	750
6	1200	1250
7	1713	1786
8	2227	2232
9	2492	2480
10	2492	2480
11	2225	2255
12	2041	1879
13	1575	1445
14	1132	1032
15	770	688
dieciséis	571	430
17	335	253
18	180	141
19	90	74
20	44	37
21	18	17
22	12	8
23	6	3
24	3	1
25	1	1

Ejemplo de programación

El siguiente ejemplo busca números polidivisibles en Python .

def find_polydivisible(base: int) -> List[int]:
    """Find polydivisible number."""
    numbers = []
    previous = []
    for i in range(1, base):
        previous.append(i)
    new = []
    digits = 2
    while not previous == []:
        numbers.append(previous)
        for i in range(0, len(previous)):
            for j in range(0, base):
                number = previous[i] * base + j
                if number % digits == 0:
                    new.append(number)
        previous = new
        new = []
        digits = digits + 1
    return numbers

Problemas relacionados

Los números polidivisibles representan una generalización del siguiente problema bien conocido en matemáticas recreativas :

Organice los dígitos del 1 al 9 en orden de modo que los primeros dos dígitos formen un múltiplo de 2, los primeros tres dígitos formen un múltiplo de 3, los primeros cuatro dígitos formen un múltiplo de 4, etc. y finalmente el número entero sea un múltiplo de 9.

La solución al problema es un número polidivisible de nueve dígitos con la condición adicional de que contenga los dígitos del 1 al 9 exactamente una vez cada uno. Hay 2492 números polidivisibles de nueve dígitos, pero el único que cumple la condición adicional es

381 654 729

Otros problemas que involucran números polidivisibles incluyen:

Encontrar números polidivisibles con restricciones adicionales en los dígitos; por ejemplo, el número polidivisible más largo que solo usa dígitos pares es

48 000 688 208 466084040

Encontrar números polidivisibles palindrómicos : por ejemplo, el número polidivisible palindrómico más largo es

30 000 600 003

Una extensión común y trivial del ejemplo mencionado anteriormente es organizar los dígitos del 0 al 9 para hacer un número de 10 dígitos de la misma manera, el resultado es 3816547290. Este es un número polidivisible pandigital .

Referencias

enlaces externos

YouTube: un número pandigital que también es polidivisible

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