Mancha Arago - Arago spot

Experimento de la mancha de Arago. Una fuente puntual ilumina un objeto circular, proyectando una sombra en una pantalla. En el centro de la sombra aparece un punto brillante debido a la difracción , lo que contradice la predicción de la óptica geométrica .
Foto del spot Arago a la sombra de un obstáculo circular de 5,8 mm
Simulación numérica de la intensidad de la luz monocromática de longitud de onda λ = 0,5 µm detrás de un obstáculo circular de radio R = 5 µm = 10λ .
Formación del spot Arago (seleccione "fuente WebM" para una buena calidad)
Mancha Arago formándose en la sombra

En óptica , la mancha de Arago , la mancha de Poisson o la mancha de Fresnel es un punto brillante que aparece en el centro de la sombra de un objeto circular debido a la difracción de Fresnel . Este lugar jugó un papel importante en el descubrimiento de la naturaleza ondulatoria de la luz y es una forma común de demostrar que la luz se comporta como una onda (por ejemplo, en ejercicios de laboratorio de física de pregrado).

La configuración experimental básica requiere una fuente puntual, como un agujero de alfiler iluminado o un rayo láser divergente . Las dimensiones de la instalación deben cumplir con los requisitos de difracción de Fresnel . Es decir, el número de Fresnel debe satisfacer

dónde

d es el diámetro del objeto circular,
es la distancia entre el objeto y la pantalla, y
λ es la longitud de onda de la fuente.

Finalmente, el borde del objeto circular debe ser lo suficientemente liso.

Estas condiciones juntas explican por qué no se encuentra el punto brillante en la vida cotidiana. Sin embargo, con las fuentes láser disponibles en la actualidad, no es complicado realizar un experimento de punto Arago.

En astronomía , la mancha de Arago también se puede observar en la imagen fuertemente desenfocada de una estrella en un telescopio newtoniano . Allí, la estrella proporciona una fuente puntual casi ideal en el infinito, y el espejo secundario del telescopio constituye el obstáculo circular.

Cuando la luz incide sobre el obstáculo circular, el principio de Huygens dice que cada punto en el plano del obstáculo actúa como una nueva fuente puntual de luz. La luz que proviene de puntos en la circunferencia del obstáculo y que va al centro de la sombra recorre exactamente la misma distancia, por lo que toda la luz que pasa cerca del objeto llega a la pantalla en fase e interfiere constructivamente . Esto da como resultado un punto brillante en el centro de la sombra, donde la óptica geométrica y las teorías de partículas de la luz predicen que no debería haber luz en absoluto.

Historia

A principios del siglo XIX, ganó fuerza la idea de que la luz no se propaga simplemente a lo largo de líneas rectas. Thomas Young publicó su experimento de doble rendija en 1807. El experimento original de la mancha de Arago se llevó a cabo una década más tarde y fue el experimento decisivo sobre la cuestión de si la luz es una partícula o una onda. Es, pues, un ejemplo de experimentum crucis .

En ese momento, muchos estaban a favor de la teoría corpuscular de la luz de Isaac Newton, entre ellos el teórico Siméon Denis Poisson . En 1818, la Academia de Ciencias de Francia lanzó un concurso para explicar las propiedades de la luz, donde Poisson era uno de los miembros del comité de jueces. El ingeniero civil Augustin-Jean Fresnel participó en este concurso presentando una nueva teoría ondulatoria de la luz .

Poisson estudió la teoría de Fresnel en detalle y, siendo un partidario de la teoría de partículas de la luz, buscó una forma de demostrar que estaba equivocada. Poisson pensó que había encontrado una falla cuando argumentó que una consecuencia de la teoría de Fresnel era que existiría un punto brillante en el eje en la sombra de un obstáculo circular, donde debería haber oscuridad completa de acuerdo con la teoría de partículas de la luz. Dado que la mancha de Arago no se observa fácilmente en situaciones cotidianas, Poisson lo interpretó como un resultado absurdo y que debería refutar la teoría de Fresnel.

Sin embargo, el jefe del comité, Dominique-François-Jean Arago (quien, dicho sea de paso, luego se convirtió en primer ministro de Francia), decidió realizar el experimento con más detalle. Moldeó un disco metálico de 2 mm en una placa de vidrio con cera. Logró observar el lugar predicho, lo que convenció a la mayoría de los científicos de la naturaleza ondulatoria de la luz y le dio la victoria a Fresnel.

Arago señaló más tarde que el fenómeno (más tarde conocido como "la mancha de Poisson" o la "mancha de Arago") ya había sido observado por Delisle y Maraldi un siglo antes.

Sólo resultó un siglo más tarde (en una de Albert Einstein 's Annus Mirabilis papeles ) que la luz debe ser descrito como una partícula y una onda ( dualidad onda-partícula de la luz).

Teoría

Notación para calcular la amplitud de onda en el punto P 1 a partir de una fuente puntual esférica en P 0 .

En el corazón de la teoría de ondas de Fresnel se encuentra el principio de Huygens-Fresnel , que establece que cada punto no obstruido de un frente de onda se convierte en la fuente de una ondícula esférica secundaria y que la amplitud del campo óptico E en un punto de la pantalla viene dada por el superposición de todas esas ondas secundarias teniendo en cuenta sus fases relativas. Esto significa que el campo en un punto P 1 en la pantalla está dado por una integral de superficie:

donde el factor de inclinación que asegura que las ondas secundarias no se propaguen hacia atrás viene dado por

y

A es la amplitud de la onda fuente
es el número de onda
S es la superficie despejada.

El primer término fuera de la integral representa las oscilaciones de la onda fuente a una distancia r 0 . De manera similar, el término dentro de la integral representa las oscilaciones de las ondas secundarias a distancias r 1 .

Para derivar la intensidad detrás del obstáculo circular usando esta integral, se supone que los parámetros experimentales cumplen con los requisitos del régimen de difracción de campo cercano (el tamaño del obstáculo circular es grande en comparación con la longitud de onda y pequeño en comparación con las distancias g = P 0 C yb = CP 1 ). Al ir a las coordenadas polares, se obtiene la integral de un objeto circular de radio a (ver, por ejemplo, Born y Wolf):

La intensidad en el eje en el centro de la sombra de un pequeño obstáculo circular converge a la intensidad sin obstáculos.

Esta integral se puede resolver numéricamente (ver más abajo). Si g es grande y b es pequeño para que el ángulo no sea despreciable, se puede escribir la integral para el caso en el eje (P 1 está en el centro de la sombra) como (ver):

La intensidad de la fuente , que es el cuadrado de la amplitud del campo, es y la intensidad en la pantalla . La intensidad en el eje en función de la distancia b viene dada por:

Esto muestra que la intensidad en el eje en el centro de la sombra tiende a la intensidad de la fuente, como si el objeto circular no estuviera presente en absoluto. Además, esto significa que el punto Arago está presente incluso con unos pocos diámetros de obstáculos detrás del disco.

Cálculo de imágenes de difracción

Para calcular la imagen de difracción completa que es visible en la pantalla hay que considerar la integral de superficie de la sección anterior. Ya no se puede explotar la simetría circular, ya que la línea entre la fuente y un punto arbitrario en la pantalla no pasa por el centro del objeto circular. Con la función de apertura que es 1 para partes transparentes del plano del objeto y 0 en caso contrario (es decir, es 0 si la línea directa entre la fuente y el punto en la pantalla pasa a través del objeto circular de bloqueo), la integral que debe resolverse es dada por:

El cálculo numérico de la integral usando la regla trapezoidal o la regla de Simpson no es eficiente y se vuelve numéricamente inestable, especialmente para configuraciones con un gran número de Fresnel . Sin embargo, es posible resolver la parte radial de la integral de modo que solo quede por hacer numéricamente la integración sobre el ángulo de acimut. Para un ángulo particular, se debe resolver la integral de línea para el rayo con origen en el punto de intersección de la línea P 0 P 1 con el plano circular del objeto. La contribución de un rayo en particular con ángulo azimutal y que pasa una parte transparente del plano del objeto de a es:

Entonces, para cada ángulo, uno tiene que calcular el ( los ) punto ( s ) de intersección del rayo con el objeto circular y luego sumar las contribuciones para un cierto número de ángulos entre 0 y . Los resultados de dicho cálculo se muestran en las siguientes imágenes.

Simulación de Poissonspot d4mm.jpg Simulación de Poissonspot d2mm.jpg Simulación de Poissonspot d1mm.jpg

Las imágenes muestran manchas de Arago simuladas a la sombra de un disco de diámetro variable (4 mm, 2 mm, 1 mm, de izquierda a derecha) a una distancia de 1 m del disco. La fuente puntual tiene una longitud de onda de 633 nm (por ejemplo, láser He-Ne) y está ubicada a 1 m del disco. El ancho de la imagen corresponde a 16 mm.

Aspectos experimentales

Intensidad y tamaño

Para una fuente puntual ideal , la intensidad del punto Arago es igual a la del frente de onda no perturbado . Solo el ancho del pico de intensidad del punto Arago depende de las distancias entre la fuente, el objeto circular y la pantalla, así como la longitud de onda de la fuente y el diámetro del objeto circular. Esto significa que se puede compensar una reducción en la longitud de onda de la fuente aumentando la distancia l entre el objeto circular y la pantalla o reduciendo el diámetro del objeto circular.

La distribución de intensidad lateral en la pantalla tiene, de hecho, la forma de una función de Bessel cero cuadrada del primer tipo cuando está cerca del eje óptico y se utiliza una fuente de onda plana (fuente puntual en el infinito):

dónde

r es la distancia del punto P 1 en la pantalla desde el eje óptico
d es el diámetro del objeto circular
λ es la longitud de onda
b es la distancia entre el objeto circular y la pantalla.

Las siguientes imágenes muestran la distribución de intensidad radial de las imágenes simuladas del punto Arago de arriba:

Simulación de Poissonspot d4mm lateral.jpg Simulación de Poissonspot d2mm lateral.jpg Simulación de Poissonspot d1mm lateral.jpg

Las líneas rojas en estos tres gráficos corresponden a las imágenes simuladas de arriba, y las líneas verdes se calcularon aplicando los parámetros correspondientes a la función de Bessel al cuadrado dada anteriormente.

Tamaño de fuente finito y coherencia espacial

La razón principal por la que el punto Arago es difícil de observar en sombras circulares de fuentes de luz convencionales es que tales fuentes de luz son aproximaciones incorrectas de fuentes puntuales. Si la fuente de onda tiene un tamaño finito S, entonces el punto de Arago tendrá una extensión dada por Sb / g , como si el objeto circular actuara como una lente. Al mismo tiempo, la intensidad del spot Arago se reduce con respecto a la intensidad del frente de olas no perturbado. Definiendo la intensidad relativa como la intensidad dividida por la intensidad del frente de onda no perturbado, la intensidad relativa para una fuente circular extendida de diámetro w se puede expresar exactamente usando la siguiente ecuación:

donde y son las funciones de Bessel del primer tipo. R es el radio del disco que proyecta la sombra, la longitud de onda yg la distancia entre la fuente y el disco. Para fuentes grandes se aplica la siguiente aproximación asintótica:

Desviación de la circularidad

Si la sección transversal del objeto circular se desvía ligeramente de su forma circular (pero todavía tiene un borde afilado en una escala más pequeña), la forma del punto de origen puntual Arago cambia. En particular, si el objeto tiene una sección transversal elipsoidal, la mancha de Arago tiene la forma de una evoluta . Tenga en cuenta que este es solo el caso si la fuente está cerca de una fuente puntual ideal. Desde una fuente extendida, la mancha de Arago solo se ve afectada marginalmente, ya que se puede interpretar la mancha de Arago como una función de dispersión de puntos . Por lo tanto, la imagen de la fuente extendida solo se desvanece debido a la convolución con la función de dispersión de puntos, pero no disminuye en toda la intensidad.

La rugosidad de la superficie del objeto circular

La mancha de Arago es muy sensible a las desviaciones a pequeña escala de la sección transversal circular ideal. Esto significa que una pequeña cantidad de rugosidad en la superficie del objeto circular puede anular completamente el punto brillante. Esto se muestra en los siguientes tres diagramas que son simulaciones del punto Arago desde un disco de 4 mm de diámetro ( g  =  b  = 1 m):

Simulación de Poissonspot d4mm lateral cor10.jpg Simulación de Poissonspot d4mm lateral cor50.jpg Simulación de poissonspot d4mm lateral cor100.jpg

La simulación incluye una ondulación sinusoidal regular de la forma circular de amplitud de 10 μm, 50 μm y 100 μm, respectivamente. Tenga en cuenta que la ondulación del borde de 100 μm elimina casi por completo el punto brillante central.

Este efecto se puede entender mejor utilizando el concepto de zona de Fresnel . El campo transmitido por un segmento radial que proviene de un punto en el borde del obstáculo proporciona una contribución cuya fase está ajustada a la posición del punto del borde con respecto a las zonas de Fresnel. Si la variación en el radio del obstáculo es mucho menor que el ancho de la zona de Fresnel cerca del borde, las contribuciones de los segmentos radiales están aproximadamente en fase e interfieren constructivamente. Sin embargo, si la ondulación de borde aleatoria tiene una amplitud comparable o mayor que el ancho de esa zona de Fresnel adyacente, las contribuciones de los segmentos radiales ya no están en fase y se cancelan entre sí reduciendo la intensidad del punto Arago.

La zona de Fresnel adyacente está dada aproximadamente por:

La ondulación del borde no debe ser mucho más del 10% de este ancho para ver un punto Arago cercano al ideal. En las simulaciones anteriores con el disco de 4 mm de diámetro, la zona de Fresnel adyacente tiene un ancho de aproximadamente 77 μm.

Mancha de Arago con ondas de materia

En 2009, se demostró el experimento de la mancha de Arago con un haz de expansión supersónico de moléculas de deuterio (un ejemplo de ondas de materia neutra ). Las partículas materiales que se comportan como ondas se conocen por la mecánica cuántica . La naturaleza ondulatoria de las partículas en realidad se remonta a la hipótesis de De Broglie, así como a los experimentos de Davisson y Germer . Una mancha de electrones de Arago, que también constituye ondas de materia, se puede observar en microscopios electrónicos de transmisión al examinar estructuras circulares de cierto tamaño.

La observación de una mancha de Arago con moléculas grandes, demostrando así su naturaleza ondulatoria, es un tema de investigación actual.

Otras aplicaciones

Además de la demostración del comportamiento de las olas, el spot Arago también tiene algunas otras aplicaciones. Una de las ideas es utilizar el spot Arago como referencia en línea recta en los sistemas de alineación. Otra es sondear las aberraciones en los rayos láser utilizando la sensibilidad del punto a las aberraciones del haz . Finalmente, se ha propuesto el aragoscopio como un método para mejorar drásticamente la resolución limitada por difracción de los telescopios espaciales.

Ver también

Referencias