Curva plana - Plane curve

En matemáticas, una curva plana es una curva en un plano que puede ser un plano euclidiano , un plano afín o un plano proyectivo . Los casos estudiados con más frecuencia son las curvas planas suaves (incluidas las curvas planas suaves por partes ) y las curvas planas algebraicas . Las curvas planas también incluyen las curvas de Jordan (curvas que encierran una región del plano pero no necesitan ser suaves) y los gráficos de funciones continuas .

Representación simbólica

Una curva plana a menudo se puede representar en coordenadas cartesianas mediante una ecuación implícita de la forma de alguna función específica f . Si esta ecuación se puede resolver de forma explícita y o x - es decir, reescrita como o para la función específica g o h - a continuación, esto proporciona una alternativa, explícita, la forma de la representación. Una curva plana también se puede representar a menudo en coordenadas cartesianas mediante una ecuación paramétrica de la forma para funciones específicas y${\ Displaystyle f (x, y) = 0}$${\ Displaystyle y = g (x)}$${\ Displaystyle x = h (y)}$${\ Displaystyle (x, y) = (x (t), y (t))}$${\ Displaystyle x (t)}$${\ Displaystyle y (t).}$

Las curvas planas a veces también se pueden representar en sistemas de coordenadas alternativos , como coordenadas polares que expresan la ubicación de cada punto en términos de un ángulo y una distancia desde el origen.

Curva plana suave

Una curva plana suave es una curva en un plano euclidiano real R ² y es una variedad suave unidimensional . Esto significa que una curva plana suave es una curva plana que "localmente se ve como una línea ", en el sentido de que cerca de cada punto, se puede asignar a una línea mediante una función suave . De manera equivalente, una curva plana suave puede estar dada localmente por una ecuación f ( x , y ) = 0 , donde f  : R ² → R es una función suave , y las derivadas parciales ∂ f / ∂ x y ∂ f / ∂ y son nunca ambos 0 en un punto de la curva.

Curva plana algebraica

Una curva plana algebraica es una curva en un plano afín o proyectivo dada por una ecuación polinomial f ( x , y ) = 0 (o F ( x , y , z ) = 0 , donde F es un polinomio homogéneo , en el caso proyectivo .)

Las curvas algebraicas se han estudiado ampliamente desde el siglo XVIII.

Cada curva plana algebraica tiene un grado, el grado de la ecuación definitoria, que es igual, en el caso de un campo algebraicamente cerrado , al número de intersecciones de la curva con una línea en posición general . Por ejemplo, el círculo dado por la ecuación x ² + y ² = 1 tiene grado 2.

Las curvas algebraicas planas no singulares de grado 2 se denominan secciones cónicas , y su terminación proyectiva son todas isomórficas a la terminación proyectiva del círculo x ² + y ² = 1 (que es la curva proyectiva de la ecuación x ² + y ² - z ² = 0 ). Las curvas planas de grado 3 se denominan curvas planas cúbicas y, si no son singulares, curvas elípticas . Las de grado 4 se denominan curvas planas cuarticas .

Ejemplos de

En la Galería de curvas se muestran numerosos ejemplos de curvas planas y se enumeran en Lista de curvas . Las curvas algebraicas de grado 1 o 2 se muestran aquí (una curva algebraica de grado menor que 3 siempre está contenida en un plano):

Nombre	Ecuación implícita	Ecuación paramétrica	Como una función	grafico
Línea recta	${\ Displaystyle ax + by = c}$	${\ Displaystyle (x, y) = (x_ {0} + \ alpha t, y_ {0} + \ beta t)}$	${\ Displaystyle y = mx + c}$
Circulo	${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}}$	${\ Displaystyle (x, y) = (r \ cos t, r \ sin t)}$
Parábola	${\ Displaystyle yx ^ {2} = 0}$	${\ Displaystyle (x, y) = (t, t ^ {2})}$	${\ Displaystyle y = x ^ {2}}$
Elipse	${\ Displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ Displaystyle (x, y) = (a \ cos t, b \ sin t)}$
Hipérbola	${\ Displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ Displaystyle (x, y) = (a \ cosh t, b \ sinh t)}$

Ver también

• Geometría diferencial
• Geometría algebraica
• Curva de Osgood
• Ajuste de curva plana
• Variedades proyectivas

Referencias

• Coolidge, JL (28 de abril de 2004), Tratado sobre curvas planas algebraicas , Publicaciones de Dover, ISBN 0-486-49576-0.
• Yates, RC (1952), Un manual sobre curvas y sus propiedades , JW Edwards, ASIN  B0007EKXV0.
• Lawrence, J. Dennis (1972), Un catálogo de curvas planas especiales , Dover, ISBN 0-486-60288-5.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Curva plana" . MathWorld .