Lámina plana - Planar lamina

En matemáticas , una lámina plana (o lámina plana ) es una figura que representa una capa delgada, generalmente uniforme y plana del sólido. También sirve como modelo idealizado de una sección transversal plana de un cuerpo sólido en integración .

Las láminas planas se pueden utilizar para determinar momentos de inercia o centro de masa de figuras planas, así como una ayuda en los cálculos correspondientes para cuerpos 3D.

Definición

Básicamente, una lámina plana se define como una figura (un conjunto cerrado ) D de un área finita en un plano, con alguna masa m .

Esto es útil para calcular momentos de inercia o centro de masa para una densidad constante, porque la masa de una lámina es proporcional a su área. En el caso de una densidad variable, dada por alguna función de densidad superficial (no negativa) , la masa de la lámina plana D es una integral plana de ρ sobre la figura: ${\ Displaystyle \ rho (x, y),}$${\ Displaystyle m}$

${\ Displaystyle m = \ iint _ {D} \ rho (x, y) \, dx \, dy}$

Propiedades

El centro de masa de la lámina está en el punto

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {M_ {y}} {m}}, {\ frac {M_ {x}} {m}} \ right)}$

donde es el momento de toda la lámina con respecto al eje y y es el momento de toda la lámina con respecto al eje x: ${\ Displaystyle M_ {y}}$${\ Displaystyle M_ {x}}$

${\ Displaystyle M_ {y} = \ lim _ {m, n \ to \ infty} \, \ sum _ {i = 1} ^ {m} \, \ sum _ {j = 1} ^ {n} \, x {_ {ij}} ^ {*} \, \ rho \ (x {_ {ij}} ^ {*}, y {_ {ij}} ^ {*}) \, \ Delta D = \ iint _ {D} x \, \ rho \ (x, y) \, dx \, dy}$

${\ Displaystyle M_ {x} = \ lim _ {m, n \ to \ infty} \, \ sum _ {i = 1} ^ {m} \, \ sum _ {j = 1} ^ {n} \, y {_ {ij}} ^ {*} \, \ rho \ (x {_ {ij}} ^ {*}, y {_ {ij}} ^ {*}) \, \ Delta D = \ iint _ {D} y \, \ rho \ (x, y) \, dx \, dy}$

con la suma y la integración asumidas en un dominio plano . ${\ Displaystyle D}$

Ejemplo

Encuentre el centro de masa de una lámina con los bordes dados por las líneas y donde la densidad se da como . ${\ Displaystyle x = 0,}$ ${\ Displaystyle y = x}$${\ Displaystyle y = 4-x}$${\ Displaystyle \ rho \ (x, y) \, = 2x + 3y + 2}$

Para ello hay que encontrar tanto la masa como los momentos y . ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle M_ {y}}$${\ Displaystyle M_ {x}}$

La masa es la que se puede expresar de forma equivalente como una integral iterada : ${\ Displaystyle m = \ iint _ {D} \ rho (x, y) \, dx \, dy}$

${\ Displaystyle m = \ int _ {x = 0} ^ {2} \ int _ {y = x} ^ {4-x} \, (2x + 3y + 2) \, dy \, dx}$

La integral interna es:

${\ Displaystyle \ int _ {y = x} ^ {4-x} \, (2x + 3y + 2) \, dy}$

${\ Displaystyle \ qquad = \ left. \ left (2xy + {\ frac {3y ^ {2}} {2}} + 2y \ right) \ right | _ {y = x} ^ {4-x}}$

${\ Displaystyle \ qquad = \ left [2x (4-x) + {\ frac {3 (4-x) ^ {2}} {2}} + 2 (4-x) \ right] - \ left [2x (x) + {\ frac {3 (x) ^ {2}} {2}} + 2 (x) \ right]}$

${\ Displaystyle \ qquad = -4x ^ {2} -8x + 32}$

Conectar esto a la integral externa da como resultado:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} m & = \ int _ {x = 0} ^ {2} \ left (-4x ^ {2} -8x + 32 \ right) \, dx \\ & = \ left. \ izquierda (- {\ frac {4x ^ {3}} {3}} - 4x ^ {2} + 32x \ right) \ right | _ {x = 0} ^ {2} \\ & = {\ frac {112 } {3}} \ end {alineado}}}$

De igual forma se calculan ambos momentos:

${\ Displaystyle M_ {y} = \ iint _ {D} x \, \ rho (x, y) \, dx \, dy = \ int _ {x = 0} ^ {2} \ int _ {y = x } ^ {4-x} x \, (2x + 3y + 2) \, dy \, dx}$

con la integral interna:

${\ Displaystyle \ int _ {y = x} ^ {4-x} x \, (2x + 3y + 2) \, dy}$

${\ Displaystyle \ qquad = \ left. \ left (2x ^ {2} y + {\ frac {3xy ^ {2}} {2}} + 2xy \ right) \ right | _ {y = x} ^ {4- X}}$

${\ Displaystyle \ qquad = -4x ^ {3} -8x ^ {2} + 32x}$

que hace:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} M_ {y} & = \ int _ {x = 0} ^ {2} (- 4x ^ {3} -8x ^ {2} + 32x) \, dx \\ & = \ left. \ left (-x ^ {4} - {\ frac {8x ^ {3}} {3}} + 16x ^ {2} \ right) \ right | _ {x = 0} ^ {2} \ \ & = {\ frac {80} {3}} \ end {alineado}}}$

y

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} M_ {x} & = \ iint _ {D} y \, \ rho (x, y) \, dx \, dy = \ int _ {x = 0} ^ {2} \ int _ {y = x} ^ {4-x} y \, (2x + 3y + 2) \, dy \, dx \\ & = \ int _ {0} ^ {2} (xy ^ {2} + y ^ {3} + y ^ {2}) {\ Big |} _ {y = x} ^ {4-x} \, dx \\ & = \ int _ {0} ^ {2} (- 2x ^ {3} + 4x ^ {2} -40x + 80) \, dx \\ & = \ left. \ Left (- {\ frac {x ^ {4}} {2}} + {\ frac {4x ^ {3}} {3}} - 20x ^ {2} + 80x \ right) \ right | _ {x = 0} ^ {2} \\ & = {\ frac {248} {3}} \ end {alineado }}}$

Finalmente, el centro de masa es

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {M_ {y}} {m}}, {\ frac {M_ {x}} {m}} \ right) = \ left ({\ frac {\ frac {80} { 3}} {\ frac {112} {3}}}, {\ frac {\ frac {248} {3}} {\ frac {112} {3}}} \ right) = \ left ({\ frac { 5} {7}}, {\ frac {31} {14}} \ right)}$

Referencias