Teorema de Pick - Pick's theorem

En geometría , el teorema de Pick proporciona una fórmula para el área de un polígono simple con coordenadas de vértice enteras , en términos del número de puntos enteros dentro de él y en su límite. El resultado fue descrito por primera vez por Georg Alexander Pick en 1899. Fue popularizado en inglés por Hugo Steinhaus en la edición de 1950 de su libro Mathematical Snapshots . Tiene múltiples pruebas y se puede generalizar a fórmulas para ciertos tipos de polígonos no simples.

Fórmula

Suponga que un polígono tiene coordenadas enteras para todos sus vértices. Sea el número de puntos enteros que están dentro del polígono y sea ​​el número de puntos enteros en su límite (incluidos los vértices y los puntos a lo largo de los lados del polígono). Entonces el área de este polígono es: ${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle A}$

El ejemplo que se muestra tiene puntos interiores y puntos límite, por lo que su área es unidades cuadradas. ${\ Displaystyle i = 7}$${\ Displaystyle b = 8}$${\ Displaystyle A = 7 + {\ tfrac {8} {2}} - 1 = 10}$

Pruebas

A través de la fórmula de Euler

Una prueba de este teorema implica subdividir el polígono en triángulos con tres vértices enteros y ningún otro punto entero. Entonces se puede probar que cada triángulo subdividido tiene un área exactamente . Por lo tanto, el área de todo el polígono es igual a la mitad del número de triángulos en la subdivisión. Después de relacionar el área con el número de triángulos de esta manera, la demostración concluye usando la fórmula poliédrica de Euler para relacionar el número de triángulos con el número de puntos de la cuadrícula en el polígono. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$

La primera parte de esta prueba muestra que un triángulo con tres vértices enteros y ningún otro punto entero tiene área exactamente , como establece la fórmula de Pick. La prueba utiliza el hecho de que todos los triángulos forman un mosaico en el plano , con triángulos adyacentes rotados 180 ° entre sí alrededor de su borde compartido. Para los mosaicos de un triángulo con tres vértices enteros y ningún otro punto entero, cada punto de la cuadrícula de números enteros es un vértice de seis mosaicos. Debido a que el número de triángulos por punto de la cuadrícula (seis) es el doble del número de puntos de la cuadrícula por triángulo (tres), los triángulos son dos veces más densos en el plano que los puntos de la cuadrícula. Cualquier región escalada del plano contiene el doble de triángulos (en el límite a medida que el factor de escala llega al infinito) que el número de puntos de la cuadrícula que contiene. Por lo tanto, cada triángulo tiene un área , según sea necesario para la prueba. Una prueba diferente de que estos triángulos tienen área se basa en el uso del teorema de Minkowski sobre puntos de celosía en conjuntos convexos simétricos. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$

Esto ya prueba la fórmula de Pick para un polígono que es uno de estos triángulos especiales. Cualquier otro polígono se puede subdividir en triángulos especiales. Para hacerlo, agregue segmentos de línea que no se crucen dentro del polígono entre pares de puntos de cuadrícula hasta que no se puedan agregar más segmentos de línea. Los únicos polígonos que no se pueden subdividir en formas más pequeñas de esta manera son los triángulos especiales considerados anteriormente. Por lo tanto, solo pueden aparecer triángulos especiales en la subdivisión resultante. Debido a que cada triángulo especial tiene un área , un polígono de área se subdividirá en triángulos especiales. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle 2A}$

La subdivisión del polígono en triángulos forma un gráfico plano , y la fórmula de Euler da una ecuación que se aplica al número de vértices, aristas y caras de cualquier gráfico plano. Los vértices son solo los puntos de la cuadrícula del polígono; hay de ellos. Las caras son los triángulos de la subdivisión y la única región del plano fuera del polígono. El número de triángulos es , por lo que en total hay caras. Para contar los bordes, observe que hay lados de triángulos en la subdivisión. Cada borde interior del polígono es el lado de dos triángulos. Sin embargo, hay bordes de triángulos que se encuentran a lo largo del límite del polígono y forman parte de un solo triángulo. Por lo tanto, el número de lados de los triángulos obedece a una ecuación de la que se puede resolver por el número de bordes, . Conectando estos valores para , y en la fórmula de Euler da ${\ Displaystyle V-E + F = 2}$${\ Displaystyle V = i + b}$${\ Displaystyle 2A}$${\ Displaystyle F = 2A + 1}$${\ Displaystyle 6A}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle 6A = 2E-b}$${\ Displaystyle E = {\ tfrac {6A + b} {2}}}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle V-E + F = 2}$

La fórmula de Pick se puede obtener simplificando esta ecuación lineal y resolviendo . Un cálculo alternativo en la misma línea implica probar que el número de bordes de la misma subdivisión es , lo que lleva al mismo resultado. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle E = 3i + 2b-3}$

También es posible ir en la otra dirección, usando el teorema de Pick (demostrado de una manera diferente) como base para una demostración de la fórmula de Euler.

Otras pruebas

Las demostraciones alternativas del teorema de Pick que no usan la fórmula de Euler incluyen las siguientes.

• Uno puede descomponer recursivamente el polígono dado en triángulos, permitiendo que algunos triángulos de la subdivisión tengan un área mayor que 1/2. Tanto el área como los recuentos de puntos utilizados en la fórmula de Pick se suman de la misma manera, por lo que la verdad de la fórmula de Pick para polígonos generales se deriva de su verdad para triángulos. Cualquier triángulo subdivida su cuadro delimitador en el triángulo de sí mismo y adicionales triángulos rectángulos , y las áreas tanto del cuadro delimitador y los triángulos rectángulos son fáciles de calcular. La combinación de estos cálculos de área da la fórmula de Pick para triángulos, y la combinación de triángulos da la fórmula de Pick para polígonos arbitrarios.
• El diagrama de Voronoi de la cuadrícula entera subdivide el plano en cuadrados, centrados alrededor de cada punto de la cuadrícula. Se puede calcular el área de cualquier polígono como la suma de sus áreas dentro de cada celda de este diagrama. Para cada punto de la cuadrícula interior del polígono, toda la celda de Voronoi está cubierta por el polígono. Los puntos de cuadrícula en un borde del polígono tienen la mitad de su celda de Voronoi cubierta. Las celdas de Voronoi de los puntos de las esquinas están cubiertas por cantidades cuyas diferencias de medio cuadrado (usando un argumento basado en el número de giro ) totalizan el término de corrección en la fórmula de Pick.${\ Displaystyle -1}$
• Alternativamente, en lugar de usar cuadrados de cuadrícula centrados en los puntos de la cuadrícula, es posible usar cuadrados de cuadrícula que tengan sus vértices en los puntos de la cuadrícula. Estos cuadrados de cuadrícula cortan el polígono dado en pedazos, que se pueden reorganizar (haciendo coincidir pares de cuadrados a lo largo de cada borde del polígono) en un poliomino con la misma área.
• El teorema de Pick también puede demostrarse basándose en la integración compleja de una función doblemente periódica relacionada con las funciones elípticas de Weierstrass .
• Aplicar la fórmula de suma de Poisson a la función característica del polígono conduce a otra demostración.

El teorema de Pick se incluyó en una lista web de los "100 teoremas matemáticos principales", que data de 1999, que luego fue utilizado por Freek Wiedijk como un conjunto de puntos de referencia para probar el poder de diferentes asistentes de prueba . A partir de 2021, una prueba del teorema de Pick se había formalizado en solo uno de los diez asistentes de prueba registrados por Wiedijk.

Generalizaciones

Las generalizaciones del teorema de Pick a polígonos no simples son posibles, pero son más complicadas y requieren más información que solo el número de vértices interiores y de límites. Por ejemplo, un polígono con huecos delimitados por polígonos enteros simples, separados entre sí y del límite, tiene un área ${\ Displaystyle h}$

También es posible generalizar el teorema de Pick a regiones limitadas por gráficas de línea recta planas más complejas con coordenadas de vértice enteras, usando términos adicionales definidos usando la característica de Euler de la región y su límite, o a polígonos con un único polígono de límite que puede cruzar sí mismo, usando una fórmula que involucra el número de bobinado del polígono alrededor de cada punto entero, así como su número de bobinado total.

Los tetraedros de Reeve en tres dimensiones tienen cuatro puntos enteros como vértices y no contienen otros puntos enteros. Sin embargo, no todos tienen el mismo volumen entre sí. Por lo tanto, no puede haber un análogo del teorema de Pick en tres dimensiones que exprese el volumen de un politopo como una función únicamente de su número de puntos interiores y límites. Sin embargo, estos volúmenes se pueden expresar en su lugar utilizando polinomios de Ehrhart .

Temas relacionados

Varios otros temas en matemáticas relacionan las áreas de las regiones con el número de puntos de la cuadrícula. Entre ellos, el teorema de Blichfeldt establece que cada forma puede traducirse para contener al menos su área en puntos de cuadrícula. El problema del círculo de Gauss se refiere a delimitar el error entre las áreas y el número de puntos de la cuadrícula en círculos. El problema de contar puntos enteros en poliedros convexos surge en varias áreas de las matemáticas y la informática. En áreas de aplicación, el planímetro de puntos es un dispositivo basado en transparencias para estimar el área de una forma contando los puntos de la cuadrícula que contiene. La secuencia de Farey es una secuencia ordenada de números racionales con denominadores acotados cuyo análisis involucra el teorema de Pick.

Otro método simple para calcular el área de un polígono es la fórmula del cordón . Da el área de cualquier polígono simple como una suma de términos calculados a partir de las coordenadas de pares consecutivos de vértices del polígono. A diferencia del teorema de Pick, no requiere que los vértices tengan coordenadas enteras.

Referencias

enlaces externos

• Teorema de Pick por Ed Pegg, Jr. , el Proyecto de Demostración Wolfram .
• Pi usando el teorema de Pick por Mark Dabbs, GeoGebra