Diagrama de Penrose - Penrose diagram

Diagrama de Penrose de un universo infinito de Minkowski , eje horizontal u , eje vertical v

En física teórica , un diagrama de Penrose (llamado así por el físico matemático Roger Penrose ) es un diagrama bidimensional que captura las relaciones causales entre diferentes puntos en el espacio-tiempo a través de un tratamiento conforme del infinito. Es una extensión de un diagrama de Minkowski donde la dimensión vertical representa el tiempo y la dimensión horizontal representa una dimensión espacial. Con este diseño, todos los rayos de luz toman una trayectoria de 45 °. . La mayor diferencia es que, localmente, la métrica en un diagrama de Penrose es conforme a la métrica real en el espacio-tiempo. El factor conforme se elige de manera que todo el espacio-tiempo infinito se transforme en un diagrama de Penrose de tamaño finito, con infinito en el límite del diagrama. Para espaciotiempos esféricamente simétricos , cada punto del diagrama de Penrose corresponde a una esfera bidimensional . ${\ Displaystyle (c = 1)}$${\ Displaystyle (\ theta, \ phi)}$

Propiedades básicas

Si bien los diagramas de Penrose comparten el mismo sistema básico de vectores de coordenadas de otros diagramas de espacio-tiempo para el espacio-tiempo local asintóticamente plano , introduce un sistema de representación del espacio-tiempo distante reduciendo o "reduciendo" las distancias que están más lejos. Las líneas rectas de tiempo constante y las líneas rectas de coordenadas espaciales constantes se convierten , por tanto, en hipérbolas , que parecen converger en puntos de las esquinas del diagrama. Estos puntos y límites representan el "infinito conforme" para el espacio-tiempo, que fue introducido por primera vez por Penrose en 1963.

Los diagramas de Penrose se denominan más propiamente (pero con menos frecuencia) diagramas de Penrose-Carter (o diagramas de Carter-Penrose ), reconociendo tanto a Brandon Carter como a Roger Penrose, quienes fueron los primeros investigadores en emplearlos. También se denominan diagramas conformes , o simplemente diagramas de espacio-tiempo (aunque estos últimos pueden referirse a los diagramas de Minkowski ).

Dos líneas dibujadas en ángulos de 45 ° deben cruzarse en el diagrama solo si los dos rayos de luz correspondientes se cruzan en el espacio-tiempo real. Por lo tanto, un diagrama de Penrose puede usarse como una ilustración concisa de las regiones del espacio-tiempo que son accesibles a la observación. Las líneas fronterizas diagonales de un diagrama de Penrose corresponden al "infinito" o a las singularidades donde los rayos de luz deben terminar. Por tanto, los diagramas de Penrose también son útiles en el estudio de las propiedades asintóticas de los espaciotiempos y las singularidades. Un universo infinito estático de Minkowski , las coordenadas están relacionadas con las coordenadas de Penrose por: ${\ Displaystyle (x, t)}$${\ Displaystyle (u, v)}$

${\ Displaystyle \ tan (u \ pm v) = x \ pm t}$

Las esquinas del diamante de Penrose, que representan los infinitos conformes espaciales y temporales, son del origen. ${\ Displaystyle \ pi / 2}$

Agujeros negros

Los diagramas de Penrose se utilizan con frecuencia para ilustrar la estructura causal de los espaciotiempos que contienen agujeros negros . Las singularidades se denotan mediante un límite espacial, a diferencia del límite temporal que se encuentra en los diagramas espacio-temporales convencionales. Esto se debe al intercambio de coordenadas temporales y espaciales dentro del horizonte de un agujero negro (dado que el espacio es unidireccional dentro del horizonte, así como el tiempo es unidireccional fuera del horizonte). La singularidad está representada por un límite similar a un espacio para dejar en claro que una vez que un objeto ha pasado el horizonte, inevitablemente chocará con la singularidad incluso si intenta realizar una acción evasiva.

Los diagramas de Penrose se utilizan a menudo para ilustrar el hipotético puente de Einstein-Rosen que conecta dos universos separados en la solución de agujero negro de Schwarzschild de máxima extensión . Los precursores de los diagramas de Penrose fueron los diagramas de Kruskal-Szekeres . (El diagrama de Penrose agrega al diagrama de Kruskal y Szekeres el crujido conforme de las regiones de espacio-tiempo plano lejos del agujero). Estos introdujeron el método de alinear el horizonte de eventos en horizontes pasados ​​y futuros orientados en ángulos de 45 ° (desde que uno necesitaría viajar más rápido que la luz para cruzar desde el radio de Schwarzschild hacia el espacio-tiempo plano); y dividir la singularidad en líneas pasadas y futuras orientadas horizontalmente (ya que la singularidad "corta" todos los caminos hacia el futuro una vez que uno entra en el agujero).

El puente Einstein-Rosen se cierra (formando singularidades "futuras") tan rápidamente que el paso entre las dos regiones exteriores asintóticamente planas requeriría una velocidad más rápida que la de la luz y, por lo tanto, es imposible. Además, los rayos de luz muy desplazados hacia el azul (llamados "hoja azul" ) harían imposible que alguien pasara a través de ellos.

Diagramas de Penrose de varias soluciones de agujeros negros

La solución máximamente extendida no describe un agujero negro típico creado a partir del colapso de una estrella, ya que la superficie de la estrella colapsada reemplaza el sector de la solución que contiene la geometría del " agujero blanco " orientada al pasado y otro universo.

Si bien el pasaje espacial básico de un agujero negro estático no se puede atravesar, los diagramas de Penrose para soluciones que representan agujeros negros rotativos y / o cargados eléctricamente ilustran los horizontes de eventos internos de estas soluciones (que se encuentran en el futuro) y las singularidades orientadas verticalmente, que se abren hasta lo que se conoce como un "agujero de gusano" similar al tiempo que permite el paso a universos futuros. En el caso del agujero giratorio, también hay un universo "negativo" al que se ingresa a través de una singularidad en forma de anillo (todavía representada como una línea en el diagrama) que se puede atravesar si se ingresa al agujero cerca de su eje de rotación. Sin embargo, estas características de las soluciones no son estables y no se cree que sean una descripción realista de las regiones interiores de tales agujeros negros; el verdadero carácter de sus interiores sigue siendo una cuestión abierta.

Ver también

• Causalidad
• Estructura causal
• Cosmología cíclica conformada
• Transformación de Weyl

Referencias

• d'Inverno, Ray (1992). Presentación de la relatividad de Einstein . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-859686-8.Consulte el Capítulo 17 (y varias secciones posteriores) para obtener una introducción muy legible al concepto de infinito conforme más ejemplos.
• Frauendiener, Jörg (2004). "Infinito conformal" . Reseñas vivientes en relatividad . 7 (1): 1. Bibcode : 2004LRR ..... 7 .... 1F . doi : 10.12942 / lrr-2004-1 . PMC  5256109 . PMID  28179863 .
• Carter, Brandon (1966). "Completa extensión analítica del eje de simetría de la solución de Kerr de las ecuaciones de Einstein". Phys. Rev . 141 (4): 1242-1247. Código Bibliográfico : 1966PhRv..141.1242C . doi : 10.1103 / PhysRev.141.1242 . Ver también versión en línea (requiere suscripción para acceder)
• Hawking, Stephen y Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-09906-6.Consulte el Capítulo 5 para obtener una explicación muy clara de los diagramas de Penrose (el término utilizado por Hawking & Ellis) con muchos ejemplos.
• Kaufmann, William J. III (1977). Las fronteras cósmicas de la relatividad general . ISBN de Little Brown & Co. 978-0-316-48341-4.Realmente rompe la transición de los diagramas simples de Minkowski, a los diagramas de Kruskal- Szekeres a los diagramas de Penrose, y entra en muchos detalles sobre los hechos y la ficción relacionados con los agujeros de gusano. Muchas ilustraciones fáciles de entender. Un libro menos complicado, pero aún muy informativo, es su William J. Kaufmann (1979). Agujeros negros y espacio-tiempo deformado . WH Freeman & Co (Sd). ISBN 978-0-7167-1153-7.

enlaces externos

• Diagramas conformales - Introducción a los diagramas conformales, serie de minilecturas por Pau Amaro Seoane
• Medios relacionados con los diagramas de Penrose en Wikimedia Commons