Superficie paramétrica - Parametric surface

Una superficie paramétrica es una superficie en el espacio euclidiano que se define mediante una ecuación paramétrica con dos parámetros . La representación paramétrica es una forma muy general de especificar una superficie, así como la representación implícita . Las superficies que ocurren en dos de los principales teoremas del cálculo vectorial , el teorema de Stokes y el teorema de la divergencia , se dan con frecuencia en forma paramétrica. La curvatura y la longitud del arco de las curvas en la superficie, el área de la superficie , los invariantes geométricos diferenciales como la primera y la segunda forma fundamental, las curvaturas gaussiana , media y principal se pueden calcular a partir de una parametrización dada. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r}: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$

Ejemplos de

Torus , creado con ecuaciones: x = r sen v ; y = (R + r cos v ) sen u ; z = (R + r cos v ) cos u .

Superficie paramétrica que forma un nudo de trébol , detalles de la ecuación en el código fuente adjunto.

• El tipo más simple de superficies paramétricas viene dado por las gráficas de funciones de dos variables:

  ${\ Displaystyle z = f (x, y), \ quad \ mathbf {r} (x, y) = (x, y, f (x, y)).}$

• Una superficie racional es una superficie que admite parametrizaciones mediante una función racional . Una superficie racional es una superficie algebraica . Dada una superficie algebraica, comúnmente es más fácil decidir si es racional que calcular su parametrización racional, si existe.
• Las superficies de revolución proporcionan otra clase importante de superficies que se pueden parametrizar fácilmente. Si la gráfica z = f ( x ) , a ≤ x ≤ b se gira alrededor del eje z, entonces la superficie resultante tiene una parametrización

  ${\ Displaystyle \ mathbf {r} (u, \ phi) = (u \ cos \ phi, u \ sin \ phi, f (u)), \ quad a \ leq u \ leq b, 0 \ leq \ phi < 2 \ pi.}$

  También se puede parametrizar

  ${\ Displaystyle \ mathbf {r} (u, v) = \ left (u {\ frac {1-v ^ {2}} {1 + v ^ {2}}}, u {\ frac {2v} {1 + v ^ {2}}}, f (u) \ right), \ quad a \ leq u \ leq b,}$

  mostrando que, si la función f es racional, entonces la superficie es racional.

• El cilindro circular recto de radio R alrededor del eje x tiene la siguiente representación paramétrica:

  ${\ Displaystyle \ mathbf {r} (x, \ phi) = (x, R \ cos \ phi, R \ sin \ phi).}$

• Usando las coordenadas esféricas , la esfera unitaria se puede parametrizar mediante

  ${\ Displaystyle \ mathbf {r} (\ theta, \ phi) = (\ cos \ theta \ sin \ phi, \ sin \ theta \ sin \ phi, \ cos \ phi), \ quad 0 \ leq \ theta <2 \ pi, 0 \ leq \ phi \ leq \ pi.}$

  Esta parametrización se rompe en los polos norte y sur, donde el ángulo de acimut θ no se determina de forma única. La esfera es una superficie racional.

La misma superficie admite muchas parametrizaciones diferentes. Por ejemplo, el plano z de coordenadas se puede parametrizar como

${\ Displaystyle \ mathbf {r} (u, v) = (au + bv, cu + dv, 0)}$

para cualquier constante a , b , c , d tal que ad - bc ≠ 0 , es decir, la matriz es invertible . ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}}}$

Geometría diferencial local

La forma local de una superficie paramétrica se puede analizar considerando la expansión de Taylor de la función que la parametriza. La longitud del arco de una curva en la superficie y el área de la superficie se pueden encontrar usando la integración .

Notación

Sea la superficie paramétrica dada por la ecuación

${\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} (u, v),}$

donde es una función de valor vectorial de los parámetros ( u , v ) y los parámetros varían dentro de un cierto dominio D en el plano uv paramétrico . Las primeras derivadas parciales con respecto a los parámetros normalmente se denotan y y de manera similar para las derivadas de orden superior,${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$${\ estilo de texto \ mathbf {r} _ {u}: = {\ frac {\ parcial \ mathbf {r}} {\ parcial u}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {v},}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {uu}, \ mathbf {r} _ {uv}, \ mathbf {r} _ {vv}.}$

En el cálculo vectorial , los parámetros se denotan con frecuencia ( s , t ) y las derivadas parciales se escriben usando la notación ∂ :

${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial \ mathbf {r}} {\ parcial s}}, {\ frac {\ parcial \ mathbf {r}} {\ parcial t}}, {\ frac {\ parcial ^ {2 } \ mathbf {r}} {\ parcial s ^ {2}}}, {\ frac {\ parcial ^ {2} \ mathbf {r}} {\ parcial s \ parcial t}}, {\ frac {\ parcial ^ {2} \ mathbf {r}} {\ t parcial ^ {2}}}.}$

Plano tangente y vector normal

La parametrización es regular para los valores dados de los parámetros si los vectores

${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {u}, \ mathbf {r} _ {v}}$

son linealmente independientes. El plano tangente en un punto regular es el plano afín en R ³ atravesado por estos vectores y que pasa por el punto r ( u , v ) en la superficie determinada por los parámetros. Cualquier vector tangente se puede descomponer de forma única en una combinación lineal de y El producto cruzado de estos vectores es un vector normal al plano tangente . Al dividir este vector por su longitud se obtiene un vector normal unitario a la superficie parametrizada en un punto regular: ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {u}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {v}.}$

${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}} = {\ frac {\ mathbf {r} _ {u} \ times \ mathbf {r} _ {v}} {\ left | \ mathbf {r} _ {u} \ times \ mathbf {r} _ {v} \ right |}}.}$

En general, hay dos opciones del vector normal unitario a una superficie en un punto dado, pero para una superficie parametrizada regular, la fórmula anterior elige consistentemente una de ellas y, por lo tanto, determina una orientación de la superficie. Algunas de las invariantes geométricas diferenciales de una superficie en R ³ están definidas por la propia superficie y son independientes de la orientación, mientras que otras cambian el signo si la orientación se invierte.

Área de superficie

El área de la superficie se puede calcular integrando la longitud del vector normal a la superficie sobre la región D apropiada en el plano uv paramétrico : ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {u} \ times \ mathbf {r} _ {v}}$

${\ Displaystyle A (D) = \ iint _ {D} \ left | \ mathbf {r} _ {u} \ times \ mathbf {r} _ {v} \ right | du \, dv.}$

Aunque esta fórmula proporciona una expresión cerrada para el área de la superficie, para todas las superficies menos muy especiales, esto da como resultado una integral doble complicada , que generalmente se evalúa utilizando un sistema de álgebra computarizada o se aproxima numéricamente. Afortunadamente, muchas superficies comunes forman excepciones y sus áreas se conocen explícitamente. Esto es cierto para un cilindro circular , esfera , cono , toro y algunas otras superficies de revolución .

Esto también se puede expresar como una integral de superficie sobre el campo escalar 1:

${\ Displaystyle \ int _ {S} 1 \, dS.}$

Primera forma fundamental

La primera forma fundamental es una forma cuadrática.

${\ Displaystyle \ mathrm {I} = Mi \, du ^ {2} +2 \, F \, du \, dv + G \, dv ^ {2}}$

en el plano tangente a la superficie que se utiliza para calcular distancias y ángulos. Para una superficie parametrizada, sus coeficientes se pueden calcular de la siguiente manera: ${\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} (u, v),}$

${\ Displaystyle E = \ mathbf {r} _ {u} \ cdot \ mathbf {r} _ {u}, \ quad F = \ mathbf {r} _ {u} \ cdot \ mathbf {r} _ {v} , \ quad G = \ mathbf {r} _ {v} \ cdot \ mathbf {r} _ {v}.}$

La longitud del arco de las curvas parametrizadas en la superficie S , el ángulo entre las curvas en S y el área de la superficie admiten expresiones en términos de la primera forma fundamental.

Si ( u ( t ),  v ( t )), a ≤ t ≤ b representa una curva parametrizada en esta superficie, entonces su longitud de arco se puede calcular como la integral:

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {E \, u '(t) ^ {2} + 2F \, u' (t) v '(t) + G \, v' ( t) ^ {2}}} \, dt.}$

La primera forma fundamental puede verse como una familia de formas bilineales simétricas definidas positivas en el plano tangente en cada punto de la superficie dependiendo suavemente del punto. Esta perspectiva ayuda a calcular el ángulo entre dos curvas en S que se cruzan en un punto dado. Este ángulo es igual al ángulo entre los vectores tangentes a las curvas. La primera forma fundamental evaluada en este par de vectores es su producto escalar , y el ángulo se puede encontrar a partir de la fórmula estándar

${\ Displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ left | \ mathbf {a} \ right | \ left | \ mathbf {b} \ right |}} }$

expresando el coseno del ángulo mediante el producto escalar.

El área de superficie se puede expresar en términos de la primera forma fundamental de la siguiente manera:

${\ Displaystyle A (D) = \ iint _ {D} {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \, du \, dv.}$

Según la identidad de Lagrange , la expresión debajo de la raíz cuadrada es precisamente , por lo que es estrictamente positiva en los puntos regulares. ${\ Displaystyle \ left | \ mathbf {r} _ {u} \ times \ mathbf {r} _ {v} \ right | ^ {2}}$

Segunda forma fundamental

La segunda forma fundamental

${\ Displaystyle \ mathrm {I \! I} = L \, \ mathrm {d} u ^ {2} + 2M \, \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d} v + N \, \ mathrm { d} v ^ {2}}$

es una forma cuadrática en el plano tangente a la superficie que, junto con la primera forma fundamental, determina las curvaturas de las curvas en la superficie. En el caso especial cuando ( u , v ) = ( x , y ) y el plano tangente a la superficie en el punto dado es horizontal, la segunda forma fundamental es esencialmente la parte cuadrática de la expansión de Taylor de z en función de x y y .

Para una superficie paramétrica general, la definición es más complicada, pero la segunda forma fundamental depende solo de las derivadas parciales de orden uno y dos. Sus coeficientes se definen como las proyecciones de las segundas derivadas parciales de sobre el vector normal unitario definido por la parametrización: ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$

${\ Displaystyle L = \ mathbf {r} _ {uu} \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}}, \ quad M = \ mathbf {r} _ {uv} \ cdot {\ hat {\ mathbf { n}}}, \ quad N = \ mathbf {r} _ {vv} \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}}.}$

Como la primera forma fundamental, la segunda forma fundamental puede verse como una familia de formas bilineales simétricas en el plano tangente en cada punto de la superficie dependiendo suavemente del punto.

Curvatura

La primera y segunda formas fundamentales de una superficie determinan sus importantes invariantes diferenciales-geométricos : la curvatura gaussiana , la curvatura media y las curvaturas principales .

Las curvaturas principales son las invariantes del par que consta de la segunda y primera formas fundamentales. Son las raíces κ ₁ , κ ₂ de la ecuación cuadrática

${\ Displaystyle \ det (\ mathrm {II} - \ kappa \ mathrm {I}) = 0, \ quad \ det {\ begin {bmatrix} L- \ kappa E y M- \ kappa F \\ M- \ kappa F y N- \ kappa G \ end {bmatrix}} = 0.}$

La curvatura gaussiana K = κ ₁ κ ₂ y la curvatura media H = ( κ ₁ + κ ₂ ) / 2 se pueden calcular de la siguiente manera:

${\ Displaystyle K = {\ frac {LN-M ^ {2}} {EG-F ^ {2}}}, \ quad H = {\ frac {EN-2FM + GL} {2 (EG-F ^ { 2})}}.}$

Hasta un signo, estas cantidades son independientes de la parametrización utilizada y, por lo tanto, forman herramientas importantes para analizar la geometría de la superficie. Más precisamente, las curvaturas principales y la curvatura media cambian el signo si se invierte la orientación de la superficie, y la curvatura gaussiana es completamente independiente de la parametrización.

El signo de la curvatura gaussiana en un punto determina la forma de la superficie cerca de ese punto: para K > 0 la superficie es localmente convexa y el punto se llama elíptico , mientras que para K <0 la superficie tiene forma de silla de montar y el punto se llama hiperbólico . Los puntos en los que la curvatura gaussiana es cero se denominan parabólicos . En general, los puntos parabólicos forman una curva en la superficie llamada línea parabólica . La primera forma fundamental es definida positiva , de ahí que su determinante EG - F ² sea ​​positivo en todas partes. Por tanto, el signo de K coincide con el signo de LN - M ² , el determinante de la segunda fundamental.

Los coeficientes de la primera forma fundamental presentada anteriormente se pueden organizar en una matriz simétrica:

${\ displaystyle F_ {1} = {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}}.}$

Y lo mismo para los coeficientes de la segunda forma fundamental , también presentados anteriormente:

${\ displaystyle F_ {2} = {\ begin {bmatrix} L&M \\ M&N \ end {bmatrix}}.}$

Definición de ahora matriz , las curvaturas principales kappa ₁ y kappa ₂ son los valores propios de A . ${\ Displaystyle A = F_ {1} ^ {- 1} F_ {2}}$

Ahora, si v ₁ = ( v ₁₁ , v ₁₂ ) es el vector propio de A correspondiente a la curvatura principal κ ₁ , el vector unitario en la dirección de se llama vector principal correspondiente a la curvatura principal κ ₁ . ${\ Displaystyle \ mathbf {t} _ {1} = v_ {11} \ mathbf {r} _ {u} + v_ {12} \ mathbf {r} _ {v}}$

En consecuencia, si v ₂ = ( v ₂₁ , v ₂₂ ) es el vector propio de A correspondiente a la curvatura principal κ ₂ , el vector unitario en la dirección de se denomina vector principal correspondiente a la curvatura principal κ ₂ . ${\ Displaystyle \ mathbf {t} _ {2} = v_ {21} \ mathbf {r} _ {u} + v_ {22} \ mathbf {r} _ {v}}$

Ver también

• Spline (matemáticas)
• Superficie normal

Referencias

enlaces externos

• Los applets de Java demuestran la parametrización de una superficie helicoidal
• m-ART (3d) : aplicación de iPad / iPhone para generar y visualizar superficies paramétricas.