Triángulo de un séptimo de área - One-seventh area triangle

El área del triángulo rosa es una séptima parte del área del triángulo grande ABC.

En geometría plana , un triángulo ABC contiene un triángulo que tiene una séptima parte del área de ABC , que se forma de la siguiente manera: los lados de este triángulo se encuentran en cevians p, q, r donde

p conecta A con un punto en BC que es un tercio de la distancia de B a C ,
q conecta B a un punto en CA que es un tercio de la distancia de C a A ,
r conecta C a un punto de AB que es un tercio de la distancia de A a B .

La prueba de la existencia del triángulo de un séptimo de área se deriva de la construcción de seis líneas paralelas:

dos paralelos ap , uno a través de C , el otro a través de qr
dos paralelos a q , uno a través de A , el otro a través de rp
dos paralelos ar , uno a través de B , el otro a través de pq .

La sugerencia de Hugo Steinhaus es que el triángulo (central) con lados p, q, r se refleje en sus lados y vértices. Estos seis triángulos adicionales cubren parcialmente ABC y dejan seis triángulos adicionales que sobresalen fuera de ABC . Centrándose en el paralelismo de la construcción completa (ofrecida por Martin Gardner a través de la revista en línea de James Randi ), las congruencias por pares de piezas de ABC que sobresalen y faltan son evidentes. Como se ve en la solución gráfica, seis más el original es igual a todo el triángulo ABC .

Solución gráfica del problema del triángulo de un séptimo de área.
La congruencia de las longitudes de los bordes permite la rotación de los triángulos seleccionados para formar tres paralelogramos de igual área, que se bisecan en seis triángulos de igual tamaño que el triángulo interior original.

Robert Potts dio una exposición temprana de esta construcción geométrica y cálculo de áreas en 1859 en su libro de texto de geometría euclidiana.

Según Cook y Wood (2004), este triángulo desconcertó a Richard Feynman en una conversación durante la cena; continúan dando cuatro pruebas diferentes.

Un resultado más general se conoce como teorema de Routh .

Referencias