Espacio nuclear - Nuclear space

En matemáticas , los espacios nucleares son espacios vectoriales topológicos que pueden verse como una generalización de espacios euclidianos de dimensión finita y comparten muchas de sus propiedades deseables. Sin embargo, los espacios nucleares son bastante diferentes de los espacios de Hilbert , otra generalización de los espacios euclidianos de dimensión finita. Fueron presentados por Alexander Grothendieck .

La topología de los espacios nucleares puede definirse mediante una familia de seminormas cuyas bolas unitarias disminuyen rápidamente de tamaño. Los espacios vectoriales cuyos elementos son "suaves" en cierto sentido tienden a ser espacios nucleares; un ejemplo típico de un espacio nuclear es el conjunto de funciones suaves en un colector compacto . Todos los espacios vectoriales de dimensión finita son nucleares. No hay espacios de Banach que sean nucleares, excepto los de dimensión finita. En la práctica, a menudo es cierto lo contrario a esto: si un espacio vectorial topológico "de origen natural" no es un espacio de Banach, entonces hay una buena probabilidad de que sea nuclear.

Motivación original: el teorema del núcleo de Schwartz

Gran parte de la teoría de los espacios nucleares fue desarrollada por Alexander Grothendieck mientras investigaba el teorema del núcleo de Schwartz y publicada en ( Grothendieck 1955 ). Ahora describimos esta motivación.

Para cualquier subconjunto abierto y el mapa canónico es un isomorfismo de TVS (donde tiene la topología de convergencia uniforme en subconjuntos delimitados ) y, además, ambos espacios son canónicamente TVS-isomorfos a (donde ya que es nuclear, este producto tensorial es simultáneamente el producto tensorial inyectivo y producto tensorial proyectivo ). En resumen, el teorema del núcleo de Schwartz establece que: ${\ Displaystyle \ Omega _ {1} \ subseteq \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ Displaystyle \ Omega _ {2} \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n},}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left (\ Omega _ {1} \ times \ Omega _ {2} \ right) \ to L_ {b} \ left (C_ {c} ^ { \ infty} \ left (\ Omega _ {2} \ right); {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left (\ Omega _ {1} \ right) \ right)}$${\ Displaystyle L_ {b} \ left (C_ {c} ^ {\ infty} \ left (\ Omega _ {2} \ right); {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left (\ Omega _ {1} \ derecha) \ derecha)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left (\ Omega _ {1} \ right) {\ widehat {\ otimes}} {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left ( \ Omega _ {2} \ right)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ left (\ Omega _ {1} \ right)}$

donde todos estos isomorfismos TVS son canónicos.

Este resultado es falso si se reemplaza el espacio con (que es un espacio reflexivo que es incluso isomorfo a su propio espacio dual fuerte) y se reemplaza con el dual de este espacio. ¿Por qué un resultado tan bueno es válido para el espacio de distribuciones y funciones de prueba, pero no para el espacio de Hilbert (que generalmente se considera uno de los televisores más "agradables")? Esta pregunta llevó a Grothendieck a descubrir espacios nucleares , mapas nucleares y el producto tensorial inyectivo . ${\ Displaystyle C_ {c} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$ ${\ Displaystyle L ^ {2}}$

Motivaciones de la geometría

Otro conjunto de ejemplos motivadores proviene directamente del ^{apéndice 2} de la geometría y la teoría de la variedad suave . Dadas las variedades suaves y un espacio vectorial topológico de Hausdorff localmente convexo, existen los siguientes isomorfismos de espacios nucleares ${\ Displaystyle M, N}$

• ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (M) \ otimes C ^ {\ infty} (N) \ cong C ^ {\ infty} (M \ times N)}$
• ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (M) \ otimes F \ cong \ {f: M \ to F: f {\ text {es suave}} \}}$

Usando productos tensoriales estándar para como un espacio vectorial, la función${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}$

${\ Displaystyle \ sin (x + y): \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$

no se puede expresar como una función para Esto da un ejemplo que demuestra que hay una inclusión estricta de conjuntos${\ Displaystyle f \ otimes g}$${\ Displaystyle f, g \ en C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}).}$

${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}) \ otimes C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}) \ subconjunto C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {2}) .}$

Definición

Esta sección enumera algunas de las definiciones más comunes de un espacio nuclear. Las siguientes definiciones son todas equivalentes. Tenga en cuenta que algunos autores utilizan una definición más restrictiva de un espacio nuclear, al agregar la condición de que el espacio también debe ser un espacio de Fréchet . (Esto significa que el espacio está completo y la topología viene dada por una familia contable de seminormas).

Grothendieck utilizó la siguiente definición para definir los espacios nucleares.

Definición 0 : Sea un espacio vectorial topológico localmente convexo. Entonces es nuclear si para cualquier espacio localmente convexo la incrustación del espacio vectorial canónico es una incrustación de TVS cuya imagen es densa en el codominio (donde el dominio es el producto del tensor proyectivo y el codominio es el espacio de todas las formas bilineales continuas por separado dotadas de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos equicontinuos ). ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y,}$${\ Displaystyle X \ otimes _ {\ pi} Y \ to {\ mathcal {B}} _ {\ epsilon} \ left (X _ {\ sigma} ^ {\ prime}, Y _ {\ sigma} ^ {\ prime} \Derecha)}$${\ Displaystyle X \ otimes _ {\ pi} Y}$${\ Displaystyle X _ {\ sigma} ^ {\ prime} \ times Y _ {\ sigma} ^ {\ prime}}$

Empezamos recordando algunos antecedentes. Un espacio vectorial topológico localmente convexo tiene una topología definida por alguna familia de seminormas . Para cualquier seminorma, la bola unitaria es una vecindad simétrica convexa cerrada del origen y, a la inversa, cualquier vecindad simétrica convexa cerrada de 0 es la bola unitaria de alguna seminorma. (Para espacios vectoriales complejos, la condición "simétrica" ​​debe ser reemplazada por " balanceada "). Si es una seminorma, entonces denota el espacio de Banach dado al completar el espacio normado auxiliar usando la seminorma Hay un mapa natural (no necesariamente inyectivo) . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle X,}$${\ Displaystyle X_ {p}}$${\ Displaystyle p.}$${\ Displaystyle X \ a X_ {p}}$

Si es otra seminorma, más grande que (puntual en función de ), entonces hay un mapa natural de a tal que los factores del primer mapa como Estos mapas son siempre continuos. El espacio es nuclear cuando se cumple una condición más fuerte, a saber, que estos mapas son operadores nucleares . La condición de operador nuclear es sutil, y más detalles están disponibles en el artículo correspondiente. ${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X_ {q}}$${\ Displaystyle X_ {p}}$${\ Displaystyle X \ a X_ {q} \ a X_ {p}.}$${\ Displaystyle X}$

Definición 1 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo de modo que para cualquier seminorma podemos encontrar una seminorma más grande de modo que el mapa natural sea nuclear . ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle X_ {q} \ to X_ {p}}$

De manera informal, esto significa que siempre que se nos da la bola unitaria de alguna seminorma, podemos encontrar una bola unitaria "mucho más pequeña" de otra seminorma dentro de ella, o que cualquier vecindario de 0 contiene un vecindario "mucho más pequeño". No es necesario marcar esta condición para todos los seminormales ; basta con comprobarlo para un conjunto de seminormas que generan la topología, es decir, un conjunto de seminormas que son una subbase de la topología. ${\ Displaystyle p}$

En lugar de utilizar espacios de Banach arbitrarios y operadores nucleares, podemos dar una definición en términos de espacios de Hilbert y operadores de clases de rastreo , que son más fáciles de entender. (En los espacios de Hilbert, los operadores nucleares a menudo se denominan operadores de clase de trazas.) Diremos que una seminorma es una seminorma de Hilbert si es un espacio de Hilbert, o de manera equivalente si proviene de una forma semidefinita positiva sesquilínea en ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle X_ {p}}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle X.}$

Definición 2 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico con una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, de modo que para cualquier seminorma de Hilbert podemos encontrar una seminorma de Hilbert más grande de modo que el mapa natural de a es una clase de traza . ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle X_ {q}}$${\ Displaystyle X_ {p}}$

Algunos autores prefieren utilizar operadores de Hilbert-Schmidt en lugar de operadores de clase de rastreo. Esto hace poca diferencia, porque cualquier operador de clase de rastreo es Hilbert-Schmidt, y el producto de dos operadores de Hilbert-Schmidt es de clase de rastreo.

Definición 3 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico con una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, de modo que para cualquier seminorma de Hilbert podemos encontrar una seminorma de Hilbert más grande de modo que el mapa natural de a es Hilbert-Schmidt. ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle X_ {q}}$${\ Displaystyle X_ {p}}$

Si estamos dispuestos a utilizar el concepto de un operador nuclear desde un espacio vectorial topológico arbitrario localmente convexo a un espacio de Banach, podemos dar definiciones más cortas de la siguiente manera:

Definición 4 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo, tal que para cualquier seminormal el mapa natural es nuclear . ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle X \ a X_ {p}}$

Definición 5 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que cualquier mapa lineal continuo a un espacio de Banach es nuclear.

Grothendieck utilizó una definición similar a la siguiente:

Definición 6 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo el mapa natural del producto tensorial proyectivo al inyectivo de y es un isomorfismo. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

De hecho, basta con comprobar esto solo para los espacios de Banach o incluso solo para el espacio único de Banach de series absolutamente convergentes. ${\ Displaystyle B,}$${\ Displaystyle \ ell ^ {1}}$

Caracterizaciones

Sea un espacio localmente convexo de Hausdorff. Entonces los siguientes son equivalentes: ${\ Displaystyle X}$

1. ${\ Displaystyle X}$ es nuclear;
2. para cualquier espacio localmente convexo, la incrustación del espacio vectorial canónico es una incrustación de TVS cuya imagen es densa en el codominio;${\ Displaystyle Y,}$${\ Displaystyle X \ otimes _ {\ pi} Y \ to {\ mathcal {B}} _ {\ epsilon} \ left (X _ {\ sigma} ^ {\ prime}, Y _ {\ sigma} ^ {\ prime} \Derecha)}$
3. para cualquier espacio de Banach, la incrustación del espacio vectorial canónico es un isomorfismo sobreyectivo de TVS;${\ Displaystyle Y,}$${\ Displaystyle X {\ widehat {\ otimes}} _ {\ pi} Y \ to X {\ widehat {\ otimes}} _ {\ epsilon} Y}$
4. para cualquier espacio de Hausdorff localmente convexo, la incrustación del espacio vectorial canónico es un isomorfismo sobreyectivo de TVS;${\ Displaystyle Y,}$${\ Displaystyle X {\ widehat {\ otimes}} _ {\ pi} Y \ to X {\ widehat {\ otimes}} _ {\ epsilon} Y}$
5. la incrustación canónica de in es un isomorfismo sobreyectivo de TVS;${\ Displaystyle \ ell ^ {1} [\ mathbb {N}, X]}$${\ Displaystyle \ ell ^ {1} (\ mathbb {N}, X)}$
6. el mapa canónico de es un isomorfismo de TVS sobreyectivo.${\ Displaystyle \ ell ^ {1} {\ widehat {\ otimes}} _ {\ pi} X \ to \ ell ^ {1} {\ widehat {\ otimes}} _ {\ epsilon} X}$
7. para cualquier seminorma podemos encontrar un seminorma más grande de modo que el mapa natural sea nuclear ;${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle X_ {q} \ to X_ {p}}$
8. para cualquier seminorma podemos encontrar un seminorma más grande de modo que la inyección canónica sea ​​nuclear;${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle X_ {p} ^ {\ prime} \ to X_ {q} ^ {\ prime}}$
9. la topología de está definida por una familia de seminormas de Hilbert, de modo que para cualquier seminorma de Hilbert podemos encontrar una seminorma de Hilbert más grande, de modo que el mapa natural es la clase de traza ;${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle X_ {q} \ to X_ {p}}$
10. ${\ Displaystyle X}$tiene una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, de modo que para cualquier seminorma de Hilbert podemos encontrar una seminorma de Hilbert más grande, de modo que el mapa natural es Hilbert-Schmidt;${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle X_ {q} \ to X_ {p}}$
11. para cualquier seminario del que el mapa natural es nuclear .${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle X \ a X_ {p}}$
12. cualquier mapa lineal continuo a un espacio de Banach es nuclear;
13. cada seminormal continuo es prenuclear;${\ Displaystyle X}$
14. cada subconjunto equicontinuo de es prenuclear;${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$
15. todo mapa lineal de un espacio de Banach al que transforma la bola unitaria en un conjunto equicontinuo, es nuclear;${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$
16. la finalización de es un espacio nuclear;${\ Displaystyle X}$

Si es un espacio de Fréchet , los siguientes son equivalentes: ${\ Displaystyle X}$

1. ${\ Displaystyle X}$ es nuclear;
2. cada secuencia sumable en es absolutamente sumable;${\ Displaystyle X}$
3. el fuerte dual de es nuclear;${\ Displaystyle X}$

Condiciones suficientes

• Un espacio de Hausdorff localmente convexo es nuclear si y solo si su terminación es nuclear.
• Cada subespacio de un espacio nuclear es nuclear.
• Cada espacio de cociente de Hausdorff de un espacio nuclear es nuclear.
• El límite inductivo de una secuencia numerable de espacios nucleares es nuclear.
• La suma directa localmente convexa de una secuencia numerable de espacios nucleares es nuclear.
• El fuerte dual de un espacio Fréchet nuclear es nuclear.
  • En general, el dual fuerte de un espacio nuclear puede no ser nuclear.
• Un espacio de Fréchet cuyo dual fuerte es nuclear es en sí mismo nuclear.
• El límite de una familia de espacios nucleares es nuclear.
• El producto de una familia de espacios nucleares es nuclear.
• La terminación de un espacio nuclear es nuclear (y de hecho, un espacio es nuclear si y solo si su terminación es nuclear).
• El producto tensorial de dos espacios nucleares es nuclear.
• El producto del tensor proyectivo , así como su finalización, de dos espacios nucleares es nuclear.

Supongamos que y son localmente convexos con un espacio nuclear. ${\ Displaystyle X, Y,}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N}$

• Si es nuclear, entonces el espacio vectorial de mapas lineales continuos dotados de la topología de convergencia simple es un espacio nuclear.${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle L _ {\ sigma} (X, N)}$
• Si es un espacio semi-reflexivo cuyo dual fuerte es nuclear y si es nuclear, entonces el espacio vectorial de mapas lineales continuos (dotados con la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de ) es un espacio nuclear.${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle L_ {b} (X, N)}$${\ Displaystyle X}$

Ejemplos de

Si es un conjunto de cualquier cardinalidad, entonces y (con la topología del producto ) son ambos espacios nucleares. ${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {d}}$

Un ejemplo de dimensión infinita relativamente simple de un espacio nuclear es el espacio de todas las secuencias que disminuyen rápidamente ("Disminuir rápidamente" significa que está acotado para cualquier polinomio ). Para cada número real es posible definir una norma por ${\ Displaystyle c = \ left (c_ {1}, c_ {2}, \ ldots \ right).}$${\ Displaystyle c_ {n} p (n)}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle s,}$${\ Displaystyle \ | \, \ cdot \, \ | _ {s}}$

Si la finalización en esta norma es, entonces hay un mapa natural de siempre y esto es nuclear siempre, esencialmente porque la serie es absolutamente convergente. En particular para cada norma esto es posible encontrar otra norma, digamos que el mapa es nuclear. Entonces el espacio es nuclear. ${\ Displaystyle C_ {s},}$${\ Displaystyle C_ {s} \ to C_ {t}}$${\ Displaystyle s \ geq t,}$${\ Displaystyle s> t + 1}$${\ Displaystyle \ sum n ^ {ts}}$${\ Displaystyle \ | \, \ cdot \, \ | _ {t}}$${\ Displaystyle \ | \, \ cdot \, \ | _ {t + 1},}$${\ Displaystyle C_ {t + 2} \ to C_ {t}}$

• El espacio de funciones suaves en cualquier colector compacto es nuclear.
• El espacio de Schwartz de funciones suaves en el que las derivadas de todos los órdenes están disminuyendo rápidamente es un espacio nuclear.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$
• El espacio de funciones holomorfas completas en el plano complejo es nuclear.
• El espacio de distribuciones del dual fuerte es nuclear.${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime},}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}},}$

Propiedades

Los espacios nucleares son en muchos aspectos similares a los espacios de dimensión finita y tienen muchas de sus buenas propiedades.

• Un espacio de Fréchet es nuclear si y solo si su dual fuerte es nuclear.
• Cada subconjunto delimitado de un espacio nuclear es precompacto (recuerde que un conjunto es precompacto si su cierre en la terminación del espacio es compacto). Esto es análogo al teorema de Heine-Borel . En contraste, ningún espacio normado de dimensión infinita tiene esta propiedad (aunque los espacios de dimensión finita sí la tienen).
• Si es un espacio nuclear cuasi-completo (es decir, todos los subconjuntos cerrados y acotados son completos), entonces tiene la propiedad de Heine-Borel .${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$
• Un espacio nuclear cuasi-completo con barriles es un espacio de Montel .
• Cada subconjunto equicontinuo cerrado del dual de un espacio nuclear es un conjunto metrizable compacto (para la topología dual fuerte).
• Todo espacio nuclear es un subespacio de un producto de los espacios de Hilbert.
• Todo espacio nuclear admite una base de seminormas que consisten en normas de Hilbert.
• Cada espacio nuclear es un espacio de Schwartz.
• Todo espacio nuclear posee la propiedad de aproximación.
• Cualquier subespacio y cualquier espacio de cociente por un subespacio cerrado de un espacio nuclear es nuclear.
• Si es nuclear y es cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo, entonces el mapa natural del producto del tensor proyectivo de A y del producto del tensor inyectivo es un isomorfismo. En términos generales, esto significa que solo hay una forma sensata de definir el producto tensorial. Esta propiedad caracteriza los espacios nucleares${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A.}$
• En la teoría de medidas en espacios vectoriales topológicos, un teorema básico establece que cualquier medida de conjunto de cilindros continuos en el dual de un espacio de Fréchet nuclear se extiende automáticamente a una medida de radón . Esto es útil porque a menudo es fácil construir medidas de conjuntos de cilindros en espacios vectoriales topológicos, pero estas no son lo suficientemente buenas para la mayoría de las aplicaciones a menos que sean medidas de Radon (por ejemplo, ni siquiera son contablemente aditivas en general).

El teorema del kernel

Gran parte de la teoría de los espacios nucleares fue desarrollada por Alexander Grothendieck mientras investigaba el teorema del núcleo de Schwartz y publicada en ( Grothendieck 1955 ). Tenemos la siguiente generalización del teorema.

Teorema del núcleo de Schwartz : Supongamos que es nuclear, es localmente convexo y tiene una forma bilineal continua en Entonces se origina en un espacio de la forma donde y son subconjuntos equicontinuos adecuados de y Equivalentemente, es de la forma, ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle X \ times Y.}$${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle X_ {A ^ {\ prime}} ^ {\ prime} {\ widehat {\ otimes}} _ {\ epsilon} Y_ {B ^ {\ prime}} ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle A ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle B ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle Y ^ {\ prime}.}$${\ Displaystyle v}$

donde y cada uno de y son equicontinuos. Además, estas secuencias pueden tomarse como secuencias nulas (es decir, convergentes a 0) en y respectivamente. ${\ Displaystyle \ left (\ lambda _ {i} \ right) \ in \ ell ^ {1}}$${\ Displaystyle \ left \ {x_ {1} ^ {\ prime}, x_ {2} ^ {\ prime}, \ ldots \ right \}}$${\ Displaystyle \ left \ {y_ {1} ^ {\ prime}, y_ {2} ^ {\ prime}, \ ldots \ right \}}$${\ Displaystyle X_ {A ^ {\ prime}} ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle Y_ {B ^ {\ prime}} ^ {\ prime},}$

Teorema de Bochner-Minlos

Un funcional continuo en un espacio nuclear se denomina funcional característico si y para cualquier complejo.${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle C (0) = 1,}$${\ Displaystyle z_ {j} {\ text {y}} x_ {j} \ in A,}$ ${\ Displaystyle j, k = 1, \ ldots, n,}$

Dada una característica funcional en un espacio nuclear, el teorema de Bochner-Minlos (según Salomon Bochner y Robert Adol'fovich Minlos ) garantiza la existencia y unicidad de la medida de probabilidad correspondiente en el espacio dual dada por ${\ Displaystyle A,}$ ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle A ^ {\ prime},}$

Esto extiende la transformada de Fourier inversa a los espacios nucleares.

En particular, si es el espacio nuclear ${\ Displaystyle A}$

donde están los espacios de Hilbert, el teorema de Bochner-Minlos garantiza la existencia de una medida de probabilidad con la función característica , es decir, la existencia de la medida gaussiana en el espacio dual . Esta medida se llama medida de ruido blanco . Cuando es el espacio de Schwartz, el elemento aleatorio correspondiente es una distribución aleatoria . ${\ Displaystyle H_ {k}}$${\ Displaystyle e ^ {- {\ frac {1} {2}} \ | y \ | _ {H_ {0}} ^ {2}},}$${\ Displaystyle A}$

Espacios fuertemente nucleares

Un espacio fuertemente nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cualquier seminorma existe una seminorma más grande, de modo que el mapa natural es fuertemente

nuclear . ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle X_ {q} \ to X_ {p}}$

Ver también

• Espacio auxiliar normado
• Kernel de Fredholm
• Producto tensor inyectivo
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Operador nuclear
• Producto tensorial proyectivo
• Espacio de Hilbert aparejado  : construcción que vincula el estudio de valores propios "ligados" y continuos en el análisis funcional
• Clase de seguimiento
• Espacio vectorial topológico: espacio  vectorial con una noción de proximidad

Referencias

Bibliografía

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