Modelo no estándar de aritmética - Non-standard model of arithmetic

En lógica matemática , un modelo aritmético no estándar es un modelo de aritmética de Peano (de primer orden) que contiene números no estándar. El término modelo estándar de aritmética se refiere a los números naturales estándar 0, 1, 2,…. Los elementos de cualquier modelo de aritmética de Peano están ordenados linealmente y poseen un segmento inicial isomorfo a los números naturales estándar. Un modelo no estándar es aquel que tiene elementos adicionales fuera de este segmento inicial. La construcción de tales modelos se debe a Thoralf Skolem (1934).

Existencia

Hay varios métodos que se pueden utilizar para probar la existencia de modelos aritméticos no estándar.

Del teorema de la compacidad

La existencia de modelos aritméticos no estándar puede demostrarse mediante la aplicación del teorema de la compacidad . Para ello, se define un conjunto de axiomas P * en un lenguaje que incluye el lenguaje de la aritmética de Peano junto con un nuevo símbolo constante x . Los axiomas consisten en los axiomas de la aritmética de Peano P junto con otro conjunto infinito de axiomas: para cada numeral n , se incluye el axioma x > n . Cualquier subconjunto finito de estos axiomas se satisface mediante un modelo que es el modelo estándar de aritmética más la constante x interpretada como un número mayor que cualquier numeral mencionado en el subconjunto finito de P *. Por tanto, según el teorema de la compacidad, existe un modelo que satisface todos los axiomas P *. Dado que cualquier modelo de P * es un modelo de P (dado que un modelo de un conjunto de axiomas es obviamente también un modelo de cualquier subconjunto de ese conjunto de axiomas), tenemos que nuestro modelo extendido es también un modelo de los axiomas de Peano. El elemento de este modelo correspondiente ax no puede ser un número estándar, porque como se indica es más grande que cualquier número estándar.

Usando métodos más complejos, es posible construir modelos no estándar que posean propiedades más complicadas. Por ejemplo, hay modelos de aritmética de Peano en los que falla el teorema de Goodstein . Se puede demostrar en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que el teorema de Goodstein se cumple en el modelo estándar, por lo que un modelo en el que falla el teorema de Goodstein debe ser no estándar.

De los teoremas de incompletitud

Los teoremas de incompletitud de Gödel también implican la existencia de modelos aritméticos no estándar. Los teoremas de la incompletitud muestran que una oración particular G , la oración de Gödel de la aritmética de Peano, no es demostrable ni refutable en la aritmética de Peano. Por el teorema de completitud , esto significa que G es falso en algún modelo de aritmética de Peano. Sin embargo, G es verdadero en el modelo estándar de aritmética y, por lo tanto, cualquier modelo en el que G sea ​​falso debe ser un modelo no estándar. Por tanto, satisfacer ~ G es una condición suficiente para que un modelo no sea estándar. Sin embargo, no es una condición necesaria; para cualquier oración de Gödel G , hay modelos de aritmética con G verdadero para todas las cardinalidades.

Insuficiencia aritmética para modelos con ~ G verdadero

Suponiendo que la aritmética es consistente, la aritmética con ~ G también es consistente. Sin embargo, dado que ~ G significa que la aritmética es inconsistente, el resultado no será consistente con ω (porque ~ G es falso y esto viola la consistencia ω).

De un ultraproducto

Otro método para construir un modelo aritmético no estándar es mediante un ultraproducto . Una construcción típica utiliza el conjunto de todas las secuencias de números naturales, . Identifica dos secuencias si coinciden en casi todas partes. El semiring resultante es un modelo aritmético no estándar. Puede identificarse con los números hipernaturales . ${\ Displaystyle \ mathbb {N} ^ {\ mathbb {N}}}$

Estructura de modelos contables no estándar.

Los modelos de ultraproductos son innumerables. Una forma de ver esto es construir una inyección del producto infinito de N en el ultraproducto. Sin embargo, según el teorema de Löwenheim-Skolem, deben existir modelos de aritmética no estándar contables. Una forma de definir dicho modelo es utilizar la semántica de Henkin .

Cualquier modelo de aritmética no estándar contable tiene el tipo de orden ω + (ω * + ω) ⋅ η , donde ω es el tipo de orden de los números naturales estándar, ω * es el orden dual (una secuencia decreciente infinita) y η es el tipo de orden de los números racionales. En otras palabras, un modelo no estándar contable comienza con una secuencia creciente infinita (los elementos estándar del modelo). A esto le sigue una colección de "bloques", cada uno del tipo de orden ω * + ω , el tipo de orden de los enteros. Estos bloques están a su vez densamente ordenados con el tipo de orden de los racionales. El resultado sigue con bastante facilidad porque es fácil ver que los bloques de números no estándar tienen que ser densos y ordenados linealmente sin puntos finales, y el tipo de orden de los racionales es el único orden lineal denso contable sin puntos finales .

Entonces, se conoce el tipo de orden de los modelos no estándar contables. Sin embargo, las operaciones aritméticas son mucho más complicadas.

Es fácil ver que la estructura aritmética difiere de ω + (ω * + ω) ⋅ η . Por ejemplo, si un elemento u no estándar (no finito) está en el modelo, entonces m ⋅ u para cualquier m , n en el segmento inicial N, sin embargo, u ² es mayor que m ⋅ u para cualquier m finito estándar .

También se pueden definir "raíces cuadradas" como la mínima v tal que v ² > 2 ⋅ u . Estos no pueden estar dentro de un número finito estándar de cualquier múltiplo racional de u . Mediante métodos análogos al análisis no estándar, también se puede usar PA para definir aproximaciones cercanas a los múltiplos irracionales de un número no estándar u , como el mínimo v con v > π ⋅ u (estos pueden definirse en PA utilizando valores finitos no estándar aproximaciones racionales de π aunque pi en sí mismo no puede ser). Una vez más, v - ( m / n ) ⋅ ( u / n ) tiene que ser mayor que cualquier número finito estándar para cualquier finito estándar m , n .

Esto muestra que la estructura aritmética de un modelo no estándar contable es más compleja que la estructura de los racionales. Sin embargo, hay más que eso: el teorema de Tennenbaum muestra que para cualquier modelo no estándar contable de la aritmética de Peano no hay forma de codificar los elementos del modelo como números naturales (estándar) de manera que la operación de suma o multiplicación del modelo es computable en los códigos. Este resultado fue obtenido por primera vez por Stanley Tennenbaum en 1959.

Referencias

Citas

Fuentes