Medición de un círculo - Measurement of a Circle
Medición de un círculo o dimensión del círculo ( griego : Κύκλου μέτρησις , Kuklou metrēsis ) es un tratado que consta de tres proposiciones de Arquímedes , ca. 250 a. C. El tratado es solo una fracción de lo que fue una obra más larga.
Proposiciones
Proposición uno
La proposición uno establece: El área de cualquier círculo es igual a un triángulo rectángulo en el que uno de los lados alrededor del ángulo recto es igual al radio y el otro a la circunferencia del círculo. Cualquier círculo con una circunferencia c y un radio r es igual en área con un triángulo rectángulo con las dos piernas siendo c y r . Esta proposición se prueba mediante el método del agotamiento .
Proposición dos
La proposición dos establece:
El área de un círculo es el cuadrado de su diámetro de 11 a 14.
Arquímedes no pudo haber hecho esta proposición, porque se basa en el resultado de la tercera proposición.
Proposición tres
La proposición tres establece:
La relación entre la circunferencia de cualquier círculo y su diámetro es mayor que pero menor que .
Esto se aproxima a lo que ahora llamamos la constante matemática π . Encontró estos límites en el valor de π al inscribir y circunscribir un círculo con dos polígonos regulares de 96 lados similares .
Aproximación a raíces cuadradas
Esta proposición también contiene aproximaciones precisas a la raíz cuadrada de 3 (una más grande y otra más pequeña) y otras raíces cuadradas no perfectas más grandes ; sin embargo, Arquímedes no da ninguna explicación sobre cómo encontró estos números. Da los límites superior e inferior a √ 3 como 1351 / 780 > √ 3 > 265 / 153 . Sin embargo, estos límites son familiares por el estudio de la ecuación de Pell y los convergentes de una fracción continua asociada , lo que lleva a mucha especulación sobre cuánto de esta teoría de números podría haber sido accesible para Arquímedes. La discusión de este enfoque se remonta al menos a Thomas Fantet de Lagny , FRS (compárese con la cronología del cálculo de π ) en 1723, pero fue tratado de manera más explícita por Hieronymus Georg Zeuthen . A principios de la década de 1880, Friedrich Otto Hultsch (1833-1906) y Karl Heinrich Hunrath (n. 1847) notaron cómo los límites se podían encontrar rápidamente por medio de límites binomiales simples en raíces cuadradas cercanas a un cuadrado perfecto modelado sobre los Elementos II.4 , 7; Thomas Little Heath prefiere este método . Aunque solo se menciona una ruta hacia los límites, de hecho hay otras dos, lo que hace que los límites sean casi ineludibles, sin embargo, el método funciona. Pero los límites también pueden producirse mediante una construcción geométrica iterativa sugerida por Stomachion de Arquímedes en el marco del dodecágono regular. En este caso, la tarea consiste en dar aproximaciones racionales a la tangente de π / 12.