Camino libre medio - Mean free path

En física , el camino libre medio es una distancia promedio sobre la cual una partícula en movimiento (como un átomo , una molécula , un fotón ) cambia sustancialmente su dirección o energía (o, en un contexto específico, otras propiedades), típicamente como resultado de una o más colisiones sucesivas con otras partículas.

Teoría de la dispersión

Losa de objetivo

Imagine un haz de partículas disparado a través de un objetivo, y considere una losa infinitesimalmente delgada del objetivo (vea la figura). Los átomos (o partículas) que podrían detener una partícula de haz se muestran en rojo. La magnitud del camino libre medio depende de las características del sistema. Suponiendo que todas las partículas objetivo están en reposo pero solo la partícula del haz se está moviendo, eso da una expresión para el camino libre medio:

{\ Displaystyle \ ell = (\ sigma n) ^ {- 1},}

donde $ℓ$ es el camino libre medio, $n$ es el número de partículas objetivo por unidad de volumen y $σ$ es el área de sección transversal efectiva para la colisión.

El área de la losa es $L 2$ y su volumen es $L 2 dx$ . El número típico de átomos de detención en la placa es la concentración $n$ veces el volumen, es decir, $n L 2 dx$ . La probabilidad de que una partícula de viga se detenga en esa losa es el área neta de los átomos de detención dividida por el área total de la losa:

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} ({\ text {deteniéndose dentro de}} dx) = {\ frac {{\ text {Área}} _ {\ text {átomos}}} {{\ text {Área}} _ {\ text {losa}}}} = {\ frac {\ sigma nL ^ {2} \, dx} {L ^ {2}}} = n \ sigma \, dx,}

donde $σ$ es el área (o, más formalmente, la " sección transversal de dispersión ") de un átomo.

La caída en la intensidad del haz es igual a la intensidad del haz entrante multiplicada por la probabilidad de que la partícula se detenga dentro de la losa:

{\ Displaystyle dI = -In \ sigma \, dx.}

Esta es una ecuación diferencial ordinaria :

{\ displaystyle {\ frac {dI} {dx}} = - En \ sigma {\ overset {\ text {def}} {=}} - {\ frac {I} {\ ell}},}

cuya solución se conoce como ley de Beer-Lambert y tiene la forma , donde $x$ es la distancia recorrida por el rayo a través del objetivo, e $I$ $0$ es la intensidad del rayo antes de entrar en el objetivo; $ℓ$ se llama camino libre medio porque es igual a la distancia media recorrida por una partícula de haz antes de detenerse. Para ver esto, tenga en cuenta que la probabilidad de que una partícula sea absorbida entre $x$ y $x$ $+$ $dx$ viene dada por ${\ Displaystyle I = I_ {0} e ^ {- x / \ ell}}$

{\ Displaystyle d {\ mathcal {P}} (x) = {\ frac {I (x) -I (x + dx)} {I_ {0}}} = {\ frac {1} {\ ell}} e ^ {- x / \ ell} dx.}

Por lo tanto, el valor esperado (o promedio, o simplemente la media) de $x$ es

{\ Displaystyle \ langle x \ rangle {\ overset {\ text {def}} {=}} \ int _ {0} ^ {\ infty} xd {\ mathcal {P}} (x) = \ int _ {0 } ^ {\ infty} {\ frac {x} {\ ell}} e ^ {- x / \ ell} \, dx = \ ell.}

La fracción de partículas que no son detenidas ( atenuadas ) por la losa se llama transmisión , donde $x$ es igual al espesor de la losa $x = dx$ . ${\ Displaystyle T = I / I_ {0} = e ^ {- x / \ ell}}$

Teoría cinética de los gases

En la teoría cinética de los gases , la trayectoria libre media de una partícula, como una molécula , es la distancia media que recorre la partícula entre las colisiones con otras partículas en movimiento. La derivación anterior supuso que las partículas objetivo estaban en reposo, por lo tanto, en realidad, la fórmula es válida para una partícula de haz con una velocidad alta en relación con las velocidades de un conjunto de partículas idénticas con ubicaciones aleatorias. En ese caso, los movimientos de las partículas objetivo son comparativamente insignificantes, de ahí la velocidad relativa . ${\ Displaystyle \ ell = (n \ sigma) ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle v}$ ${\ Displaystyle v _ {\ rm {rel}} \ approx v}$

Si, por otro lado, la partícula del haz es parte de un equilibrio establecido con partículas idénticas, entonces el cuadrado de la velocidad relativa es:

${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbf {v} _ {\ rm {relativo}} ^ {2}}} = {\ overline {(\ mathbf {v} _ {1} - \ mathbf {v} _ {2 }) ^ {2}}} = {\ overline {\ mathbf {v} _ {1} ^ {2} + \ mathbf {v} _ {2} ^ {2} -2 \ mathbf {v} _ {1 } \ cdot \ mathbf {v} _ {2}}}.}$

En equilibrio, y son aleatorios y no correlacionados, por lo tanto , y la velocidad relativa es ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {2}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ mathbf {v} _ {2}}} = 0}$

${\ Displaystyle v _ {\ rm {rel}} = {\ sqrt {\ overline {\ mathbf {v} _ {\ rm {relativo}} ^ {2}}}} = {\ sqrt {\ overline {\ mathbf { v} _ {1} ^ {2} + \ mathbf {v} _ {2} ^ {2}}}} = {\ sqrt {2}} v.}$

Esto significa que el número de colisiones es multiplicado por el número con objetivos estacionarios. Por tanto, se aplica la siguiente relación: ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$

{\ Displaystyle \ ell = ({\ sqrt {2}} \, n \ sigma) ^ {- 1},}

y usando ( ley de gas ideal ) y (área de sección transversal efectiva para partículas esféricas con radio ), se puede demostrar que la trayectoria libre media es ${\ Displaystyle n = N / V = p / (k _ {\ text {B}} T)}$ ${\ Displaystyle \ sigma = \ pi (2r) ^ {2} = \ pi d ^ {2}}$ ${\ Displaystyle r}$

{\ Displaystyle \ ell = {\ frac {k _ {\ text {B}} T} {{\ sqrt {2}} \ pi d ^ {2} p}},}

donde k _B es la constante de Boltzmann , es la presión del gas y es la temperatura absoluta. ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle T}$

En la práctica, el diámetro de las moléculas de gas no está bien definido. De hecho, el diámetro cinético de una molécula se define en términos del camino libre medio. Por lo general, las moléculas de gas no se comportan como esferas duras, sino que se atraen entre sí a distancias más grandes y se repelen entre sí a distancias más cortas, como se puede describir con un potencial de Lennard-Jones . Una forma de tratar con estas moléculas "blandas" es utilizar el parámetro σ de Lennard-Jones como diámetro. Otra forma es asumir un gas de esfera dura que tiene la misma viscosidad que el gas real que se está considerando. Esto conduce a un camino libre medio

{\ Displaystyle \ ell = {\ frac {\ mu} {p}} {\ sqrt {\ frac {\ pi k _ {\ text {B}} T} {2m}}},}

donde m es la masa molecular y μ es la viscosidad. Esta expresión se puede poner en la siguiente forma conveniente

{\ Displaystyle \ ell = {\ frac {\ mu} {p}} {\ sqrt {\ frac {\ pi RT} {2M}}},}

con siendo la constante universal de los gases y el peso molecular . Estas diferentes definiciones del diámetro molecular pueden conducir a valores ligeramente diferentes del camino libre medio. ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle M}$

La siguiente tabla enumera algunos valores típicos para el aire a diferentes presiones a temperatura ambiente.

Rango de vacío	Presión en hPa ( mbar )	Presión en mmHg ( Torr )	densidad numérica ( moléculas / cm ³ )	densidad numérica ( moléculas / m ³ )	Camino libre medio
Presión ambiental	1013	759,8	2,7 × 10 ¹⁹	2,7 × 10 ²⁵	68 nanómetro
Vacío bajo	300 - 1	220 - 8 × 10 ⁻¹	10 ¹⁹ - 10 ¹⁶	10 ²⁵ - 10 ²²	0,1 - 100 μm
Vacío medio	1 - 10 ⁻³	8 × 10 ⁻¹ - 8 × 10 ⁻⁴	10 ¹⁶ - 10 ¹³	10 ²² - 10 ¹⁹	0,1 - 100 mm
Alto vacío	10 ⁻³ - 10 ⁻⁷	8 × 10 ⁻⁴ - 8 × 10 ⁻⁸	10 ¹³ - 10 ⁹	10 ¹⁹ - 10 ¹⁵	10 cm - 1 km
Vacío ultra alto	10 ⁻⁷ - 10 ⁻¹²	8 × 10 ⁻⁸ - 8 × 10 ⁻¹³	10 ⁹ - 10 ⁴	10 ¹⁵ - 10 ¹⁰	1 km - 10 ⁵ km
Vacío extremadamente alto	<10 ⁻¹²	<8 × 10 ⁻¹³	<10 ⁴	<10 ¹⁰	> 10 ⁵ km

En otros campos

Radiografía

El camino libre medio para fotones en un rango de energía de 1 keV a 20 MeV para elementos con Z = 1 a 100. Las discontinuidades se deben a la baja densidad de los elementos gaseosos. Seis bandas corresponden a vecindarios de seis gases nobles . También se muestran las ubicaciones de los bordes de absorción .

En la radiografía de rayos gamma, la trayectoria libre media de un haz de lápiz de fotones monoenergéticos es la distancia media que viaja un fotón entre colisiones con átomos del material objetivo. Depende del material y la energía de los fotones:

{\ Displaystyle \ ell = \ mu ^ {- 1} = ((\ mu / \ rho) \ rho) ^ {- 1},}

donde μ es el coeficiente de atenuación lineal , μ / ρ es el coeficiente de atenuación de masa y ρ es la densidad del material. El coeficiente de atenuación de masa se puede buscar o calcular para cualquier combinación de material y energía utilizando las bases de datos del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST).

En la radiografía de rayos X, el cálculo de la trayectoria libre media es más complicado, porque los fotones no son monoenergéticos, pero tienen una distribución de energías llamada espectro . A medida que los fotones se mueven a través del material objetivo, se atenúan con probabilidades que dependen de su energía, como resultado, su distribución cambia en un proceso llamado endurecimiento del espectro. Debido al endurecimiento del espectro, la trayectoria libre media del espectro de rayos X cambia con la distancia.

A veces, se mide el espesor de un material en el número de caminos libres medios . El material con el espesor de una trayectoria libre media se atenuará al 37% (1 / e ) de los fotones. Este concepto está estrechamente relacionado con la capa de valor medio (HVL): un material con un espesor de un HVL atenuará el 50% de los fotones. Una imagen de rayos X estándar es una imagen de transmisión, una imagen con un logaritmo negativo de sus intensidades a veces se denomina imagen de un número de trayectorias libres medias .

Electrónica

En el transporte de carga macroscópica, la trayectoria libre media de un portador de carga en un metal es proporcional a la movilidad eléctrica , un valor directamente relacionado con la conductividad eléctrica , es decir: ${\ Displaystyle \ ell}$ ${\ Displaystyle \ mu}$

{\ Displaystyle \ mu = {\ frac {q \ tau} {m}} = {\ frac {q \ ell} {m ^ {*} v _ {\ rm {F}}}},}

donde q es la carga , es el tiempo libre medio , m ^* es la masa efectiva y v _F es la velocidad de Fermi del portador de carga. La velocidad de Fermi se puede derivar fácilmente de la energía de Fermi mediante la ecuación de energía cinética no relativista. En películas delgadas , sin embargo, el espesor de la película puede ser menor que el recorrido libre medio predicho, por lo que la dispersión de la superficie mucho más notable, el aumento efectivo de la resistividad . ${\ Displaystyle \ tau}$

La movilidad de los electrones a través de un medio con dimensiones más pequeñas que la trayectoria libre media de los electrones se produce mediante conducción balística o transporte balístico. En tales escenarios, los electrones alteran su movimiento solo en colisiones con las paredes del conductor.

Óptica

Si se toma una suspensión de partículas no absorbentes de luz de diámetro d con una fracción de volumen Φ , la trayectoria libre media de los fotones es:

{\ Displaystyle \ ell = {\ frac {2d} {3 \ Phi Q _ {\ text {s}}}},}

donde Q _s es el factor de eficiencia de dispersión. Q _s se puede evaluar numéricamente para partículas esféricas utilizando la teoría de Mie .

Acústica

En una cavidad que de otro modo estaría vacía, el camino libre medio de una sola partícula que rebota en las paredes es:

{\ Displaystyle \ ell = {\ frac {FV} {S}},}

donde V es el volumen de la cavidad, S es el área de la superficie interior total de la cavidad y F es una constante relacionada con la forma de la cavidad. Para la mayoría de las formas de cavidad simples, F es aproximadamente 4.

Esta relación se utiliza en la derivación de la ecuación de Sabine en acústica, utilizando una aproximación geométrica de la propagación del sonido.

Física nuclear y de partículas

En física de partículas, el concepto de camino libre medio no se usa comúnmente, siendo reemplazado por el concepto similar de longitud de atenuación . En particular, para los fotones de alta energía, que interactúan principalmente mediante la producción de pares de electrones y positrones , la longitud de la radiación se usa de manera muy similar a la trayectoria libre media en radiografía.

Los modelos de partículas independientes en física nuclear requieren la órbita sin perturbaciones de los nucleones dentro del núcleo antes de que interactúen con otros nucleones.

La trayectoria libre media efectiva de un nucleón en materia nuclear debe ser algo mayor que las dimensiones nucleares para permitir el uso del modelo de partículas independientes. Este requisito parece estar en contradicción con los supuestos hechos en la teoría ... Nos enfrentamos aquí a uno de los problemas fundamentales de la física de estructuras nucleares que aún no se ha resuelto.

- John Markus Blatt y Victor Weisskopf , Física nuclear teórica (1952)

Ver también

Referencias

enlaces externos

Caja de herramientas de dinámica de gases : calcule la trayectoria libre media para mezclas de gases utilizando el modelo VHS

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