Suma de matriz - Matrix addition

En matemáticas , la suma de matrices es la operación de sumar dos matrices sumando las entradas correspondientes. Sin embargo, existen otras operaciones que también podrían considerarse suma para matrices, como la suma directa y la suma de Kronecker .

Suma de entrada

Dos matrices deben tener el mismo número de filas y columnas para agregarse. En cuyo caso, la suma de dos matrices A y B será una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas como A y B . La suma de A y B , denotada A + B , se calcula sumando los elementos correspondientes de A y B :

${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {A} + \ mathbf {B} & = {\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & \ cdots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ cdots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} & a_ {m2} & \ cdots & a_ {mn} \\\ end {bmatrix}} + { \ begin {bmatrix} b_ {11} & b_ {12} & \ cdots & b_ {1n} \\ b_ {21} & b_ {22} & \ cdots & b_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ b_ {m1} & b_ {m2} & \ cdots & b_ {mn} \\\ end {bmatrix}} \\ & = {\ begin {bmatrix} a_ {11} + b_ {11} & a_ {12} + b_ {12} & \ cdots & a_ {1n} + b_ {1n} \\ a_ {21} + b_ {21} & a_ {22} + b_ {22} & \ cdots & a_ {2n} + b_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} + b_ {m1} & a_ {m2} + b_ {m2} & \ cdots & a_ {mn} + b_ {mn} \\\ end {bmatrix}} \\\ end {alineado}} \, \!}$

O más concisamente (asumiendo que A + B = C ):

${\ Displaystyle c_ {ij} = a_ {ij} + b_ {ij}}$

Por ejemplo:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 7 & 5 \\ 2 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 + 0 & 3 + 0 \\ 1 + 7 & 0 + 5 \\ 1 + 2 & 2 + 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 \\ 8 & 5 \\ 3 & 3 \ end {bmatrix}}}$

Del mismo modo, también es posible restar una matriz de otra, siempre que tengan las mismas dimensiones. La diferencia de A y B , denotado A - B , se calcula restando elementos de B a partir de elementos correspondientes de A , y tiene las mismas dimensiones que A y B . Por ejemplo:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \ end {bmatrix}} - {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 7 & 5 \\ 2 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 -0 & 3-0 \\ 1-7 & 0-5 \\ 1-2 & 2-1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 \\ - 6 & -5 \\ - 1 & 1 \ end {bmatrix}}}$

Suma directa

Otra operación, que se usa con menos frecuencia, es la suma directa (denotada por ⊕). Tenga en cuenta que la suma de Kronecker también se denota ⊕; el contexto debe dejar claro el uso. La suma directa de cualquier par de matrices A de tamaño m × n y B de tamaño p × q es una matriz de tamaño ( m + p ) x ( n + q ) definido como:

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ oplus \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} & {\ boldsymbol {0}} \\ {\ boldsymbol {0}} & \ mathbf {B} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ {11} & \ cdots & a_ {1n} & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} & \ cdots & a_ {mn} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ cdots & 0 & b_ {11} & \ cdots & b_ {1q} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ 0 & \ cdots & 0 & b_ {p1} & \ cdots & b_ {pq} \ end {bmatrix}}}$

Por ejemplo,

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \ end {bmatrix}} \ oplus {\ begin {bmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

La suma directa de matrices es un tipo especial de matriz de bloques . En particular, la suma directa de matrices cuadradas es una matriz diagonal de bloques .

La matriz de adyacencia de la unión de gráficos disjuntos (o multigrafos ) es la suma directa de sus matrices de adyacencia. Cualquier elemento en la suma directa de dos espacios vectoriales de matrices se puede representar como una suma directa de dos matrices.

En general, la suma directa de n matrices es:

${\ Displaystyle \ bigoplus _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {A} _ {i} = \ operatorname {diag} (\ mathbf {A} _ {1}, \ mathbf {A} _ {2} , \ mathbf {A} _ {3}, \ ldots, \ mathbf {A} _ {n}) = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} _ {1} & {\ boldsymbol {0}} & \ cdots & {\ boldsymbol {0}} \\ {\ boldsymbol {0}} & \ mathbf {A} _ {2} & \ cdots & {\ boldsymbol {0}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ boldsymbol {0}} & {\ boldsymbol {0}} & \ cdots & \ mathbf {A} _ {n} \\\ end {bmatrix}} \, \!}$

donde los ceros son en realidad bloques de ceros (es decir, matrices de cero).

Suma de Kronecker

La suma de Kronecker es diferente de la suma directa, pero también se denota por ⊕. Se define utilizando el producto Kronecker ⊗ y la adición de matriz normal. Si A es n -by- n , B es m -by- m y denota el k -by- k matriz identidad entonces la suma Kronecker se define por: ${\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {k}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} \ oplus \ mathbf {B} = \ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {I} _ {m} + \ mathbf {I} _ {n} \ otimes \ mathbf {B}. }$

Ver también

• Multiplicación de matrices
• Suma de vectores

Notas

Referencias

• Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (2017). Esquema de álgebra lineal de Schaum (6 ed.). Educación McGraw-Hill. ISBN 9781260011449.
• Riley, KF; Hobson, diputado; Bence, SJ (2006). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería (3 ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. doi : 10.1017 / CBO9780511810763 . ISBN 978-0-521-86153-3.

enlaces externos

• Suma directa de matrices en PlanetMath .
• Tonterías abstractas: suma directa de transformaciones lineales y suma directa de matrices
• Biblioteca de fuentes de matemáticas: operaciones con matrices aritméticas
• Álgebra de matrices y R