Luna de Hipócrates - Lune of Hippocrates
En geometría , la luna de Hipócrates , llamada así por Hipócrates de Quíos , es una luna delimitada por arcos de dos círculos, el más pequeño de los cuales tiene como diámetro una cuerda que forma un ángulo recto en el círculo más grande. De manera equivalente, es una región plana no convexa limitada por un arco circular de 180 grados y un arco circular de 90 grados. Fue la primera figura curva en tener su área exacta calculada matemáticamente.
Historia
Hipócrates quiso resolver el problema clásico de cuadrar el círculo , es decir, construir un cuadrado mediante regla y compás , que tenga la misma área que un círculo dado . Demostró que la luna delimitada por los arcos etiquetados como E y F en la figura tiene la misma área que el triángulo ABO . Esto brindó alguna esperanza de resolver el problema de la cuadratura del círculo, ya que la luna está limitada solo por arcos de círculos. Heath concluye que, al probar su resultado, Hipócrates también fue el primero en probar que el área de un círculo es proporcional al cuadrado de su diámetro.
El libro de Hipócrates sobre geometría en el que aparece este resultado, Elementos , se ha perdido, pero puede haber formado el modelo para los Elementos de Euclides . La prueba de Hipócrates se conservó a través de la Historia de la geometría compilada por Eudemo de Rodas , que tampoco ha sobrevivido, pero que fue extraída por Simplicio de Cilicia en su comentario sobre la física de Aristóteles .
No fue hasta 1882, con la prueba de Ferdinand von Lindemann de la trascendencia de π , que la cuadratura del círculo resultó ser imposible.
Prueba
El resultado de Hipócrates se puede demostrar de la siguiente manera: El centro del círculo en el que se encuentra el arco AEB es el punto D , que es el punto medio de la hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles ABO . Por lo tanto, el diámetro AC del círculo más grande ABC es √ 2 veces el diámetro del círculo más pequeño en el que se encuentra el arco AEB . En consecuencia, el círculo más pequeño tiene la mitad del área del círculo más grande y, por lo tanto, el cuarto de círculo AFBOA es igual en área al semicírculo AEBDA. Al restar el área AFBDA en forma de media luna del cuarto de círculo se obtiene el triángulo ABO y al restar la misma media luna del semicírculo se obtiene la luna. Dado que el triángulo y la luna se forman restando áreas iguales de áreas iguales, ellos mismos son iguales en área.
Generalizaciones
Usando una demostración similar a la anterior, el matemático árabe Hasan Ibn al-Haytham (nombre latinizado Alhazen , c. 965 - c. 1040) mostró que dos lunes, formados en los dos lados de un triángulo rectángulo , cuyos límites exteriores son semicírculos y cuyos límites internos están formados por la circunferencia del triángulo, entonces las áreas de estos dos lunas sumadas son iguales al área del triángulo. El lunes formado de esta manera a partir de un triángulo rectángulo se conoce como el lunes de Alhazen . La cuadratura de la luna de Hipócrates es el caso especial de este resultado para un triángulo rectángulo isósceles .
A mediados del siglo XX, dos matemáticos rusos, Nikolai Chebotaryov y su alumno Anatoly Dorodnov, clasificaron completamente los lunes que son construibles con compás y regla y que tienen el mismo área que un cuadrado dado. Todos estos lunas se pueden especificar por los dos ángulos formados por los arcos interior y exterior en sus respectivos círculos; en esta notación, por ejemplo, la luna de Hipócrates tendría los ángulos interior y exterior (90 °, 180 °). Hipócrates encontró otros dos lunas cóncavas cuadradas, con ángulos de aproximadamente (107,2 °, 160,9 °) y (68,5 °, 205,6 °). Dos lunas cóncavas más cuadradas, con ángulos de aproximadamente (46,9 °, 234,4 °) y (100,8 °, 168,0 °) fueron encontrados en 1766 por Martin Johan Wallenius y nuevamente en 1840 por Thomas Clausen . Como demostraron Chebotaryov y Dorodnov, estos cinco pares de ángulos dan el único lunes cuadrático construible; en particular, no hay lunes convexos cuadráticos construibles.