Teorema de Looman-Menchoff - Looman–Menchoff theorem

En el campo matemático del análisis complejo , el teorema de Looman-Menchoff establece que una función continua de valor complejo definida en un conjunto abierto del plano complejo es holomórfica si y solo si satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann . Por tanto, es una generalización de un teorema de Édouard Goursat , que en lugar de asumir la continuidad de f , asume su diferenciabilidad de Fréchet cuando se considera una función de un subconjunto de R ² a R ² .

Un enunciado completo del teorema es el siguiente:

• Deje Ω sea un conjunto abierto en C y F  : Ω → C una función continua. Suponga que las derivadas parciales y existen en todas partes excepto en un conjunto contable en Ω. Entonces f es holomórfica si y solo si satisface la ecuación de Cauchy-Riemann:${\ estilo de visualización \ f parcial / \ x parcial}$${\ Displaystyle \ parcial f / \ parcial y}$

${\ estilo de visualización {\ frac {\ f parcial} {\ parcial {\ bar {z}}}} = {\ frac {1} {2}} \ izquierda ({\ frac {\ f parcial} {\ parcial x} } + i {\ frac {\ parcial f} {\ parcial y}} \ derecha) = 0.}$

Ejemplos

Looman señaló que la función dada por f ( z ) = exp (- z ⁻⁴ ) para z  ≠ 0, f (0) = 0 satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todas partes pero no es analítica (ni siquiera continua) en  z  = 0. Esto muestra que la función f debe asumirse como continua en el teorema.

La función dada por f ( z ) = z ⁵ / | z | ⁴ para z  ≠ 0, f (0) = 0 es continua en todas partes y satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en z  = 0, pero no es analítica en z  = 0 (o en cualquier otro lugar). Esto muestra que una generalización ingenua del teorema de Looman-Menchoff a un solo punto es falsa :

• Sea f continua en una vecindad de un punto z , y tal que y exista en z . Entonces f es holomórfica en z si y sólo si satisface la ecuación de Cauchy-Riemann en z .${\ estilo de visualización \ f parcial / \ x parcial}$${\ Displaystyle \ parcial f / \ parcial y}$

Referencias

• Gray, JD; Morris, SA (1978), "When is a Function that Satisfies the Cauchy-Riemann Equations Analytic?", The American Mathematical Monthly (publicado en abril de 1978), 85 (4): 246–256, doi : 10.2307 / 2321164 , JSTOR  2321164.
• Looman, H. (1923), "Über die Cauchy – Riemannschen Differentialgleichungen", Göttinger Nachrichten : 97–108.
• Menchoff, D. (1936), Les conditions de monogénéité , París.
• Montel, P. (1913), "Sur les différentielles totales et les fonctions monogènes", CR Acad. Sci. París , 156 : 1820–1822.
• Narasimhan, Raghavan (2001), Análisis complejo en una variable , Birkhäuser, ISBN 0-8176-4164-5.

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