Punto límite compacto - Limit point compact

En matemáticas, un espacio topológico X se dice que es de valor límite compacto o débilmente numerable compacto si cada subconjunto infinito de X tiene un punto límite en X . Esta propiedad generaliza una propiedad de los espacios compactos . En un espacio métrico , la compacidad del punto límite, la compacidad y la compacidad secuencial son todas equivalentes. Para los espacios topológicos generales, sin embargo, estas tres nociones de compacidad no son equivalentes.

Propiedades y ejemplos

• En un espacio topológico, los subconjuntos sin punto límite son exactamente aquellos que están cerrados y discretos en la topología del subespacio. Entonces, un espacio es compacto de punto límite si y solo si todos sus subconjuntos discretos cerrados son finitos.
• Un espacio X no es compacto de punto límite si y solo si tiene un subespacio discreto cerrado infinito. Dado que cualquier subconjunto de un subconjunto discreto cerrado de X está en sí mismo cerrado en X y discreto, esto es equivalente a requerir que X tenga un subespacio discreto cerrado numerablemente infinito.
• Algunos ejemplos de espacios que no son compactos de punto límite: (1) El conjunto de todos los números reales con su topología habitual, ya que los enteros son un conjunto infinito pero no tienen un punto límite en ; (2) un conjunto infinito con topología discreta; (3) la topología del complemento contable en un conjunto incontable.${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Cada espacio sumamente compacto (y por lo tanto cada espacio compacto) es compacto en el punto límite.
• Para los espacios T ₁ , la compacidad del punto límite es equivalente a la compacidad contable.
• Un ejemplo de espacio compacto de punto límite que no es contablemente compacto se obtiene "duplicando los enteros", es decir, tomando el producto donde es el conjunto de todos los enteros con la topología discreta y tiene la topología indiscreta . El espacio es homeomórfico para la topología par-impar . Este espacio no es T ₀ . Es un punto límite compacto porque cada subconjunto no vacío tiene un punto límite.${\ Displaystyle X = \ mathbb {Z} \ times Y}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle Y = \ {0,1 \}}$${\ Displaystyle X}$
• Un ejemplo de espacio T ₀ que es compacto en el punto límite y no compacta en forma contable es el conjunto de todos los números reales, con la topología del orden correcto , es decir, la topología generada por todos los intervalos . El espacio es compacto de punto límite porque dado cualquier punto , cada es un punto límite de .${\ Displaystyle X = \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle (x, \ infty)}$${\ Displaystyle a \ in X}$${\ Displaystyle x <a}$${\ Displaystyle \ {a \}}$
• Para espacios metrizables, la compacidad, la compacidad contable, la compacidad del punto límite y la compacidad secuencial son todas equivalentes.
• Los subespacios cerrados de un espacio compacto de punto límite son compactos de punto límite.
• La imagen continua de un espacio compacto de punto límite no necesita ser compacto de punto límite. Por ejemplo, si con discreto e indiscreto como en el ejemplo anterior, el mapa dado por proyección sobre la primera coordenada es continuo, pero no es el punto límite compacto.${\ Displaystyle X = \ mathbb {Z} \ times Y}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f = \ pi _ {\ mathbb {Z}}}$${\ Displaystyle f (X) = \ mathbb {Z}}$
• Un espacio compacto de punto límite no necesita ser pseudocompacto . Un ejemplo lo da el mismo con el espacio indiscreto de dos puntos y el mapa , cuya imagen no está acotada .${\ Displaystyle X = \ mathbb {Z} \ times Y}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f = \ pi _ {\ mathbb {Z}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Un espacio pseudocompacto no necesita ser compacto en el punto límite. Un ejemplo lo da un conjunto incontable con la topología cocountable .
• Todo espacio pseudocompacto normal es compacto de punto límite.
  Prueba : Supongamos que es un espacio normal que no es compacto de punto límite. Existe un subconjunto discreto cerrado numerable infinito de . Según el teorema de extensión de Tietze, la función continua en definida por puede extenderse a una función continua de valor real (ilimitada) en todos . Entonces no es pseudocompacto.${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle A = \ {x_ {n}: n = 1,2, \ ldots \}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle f (x_ {n}) = n}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$
• Los espacios compactos del punto límite tienen extensión contable .
• Si ( X , T ) y ( X , T * ) son espacios topológicos con T * más fino que T y ( X , T * ) es el punto límite compacto, entonces también lo es ( X , T ).

Ver también

• Espacio compacto
• Espacio secuencialmente compacto
• Espacio sumamente compacto

Notas

Referencias

• James Munkres (1999). Topología (2ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
• Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr., contraejemplos en topología . Springer-Verlag, Nueva York, 1978. Reimpreso por Dover Publications, Nueva York, 1995. ISBN  0-486-68735-X (edición de Dover).
• Este artículo incorpora material de Weakly contablemente compacto en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .