Relación de Legendre - Legendre's relation

En matemáticas, la relación de Legendre se puede expresar en cualquiera de dos formas: como una relación entre integrales elípticas completas , o como una relación entre períodos y cuasiperiodos de funciones elípticas . Las dos formas son equivalentes ya que los períodos y cuasiperiodos se pueden expresar en términos de integrales elípticas completas. Fue introducido (para integrales elípticas completas) por AM Legendre  ( 1811 , 1825 , p. 61).

Integrales elípticas completas

La relación de Legendre establecida usando integrales elípticas completas es

${\ displaystyle K'E + KE'-KK '= {\ frac {\ pi} {2}}}$

donde K y K ′ son las integrales elípticas completas del primer tipo para valores que satisfacen k ² + k ′ ² = 1 , y E y E ′ son las integrales elípticas completas del segundo tipo.

Esta forma de relación de Legendre expresa el hecho de que el Wronskiano de las integrales elípticas completas (consideradas como soluciones de una ecuación diferencial) es una constante.

Funciones elípticas

La relación de Legendre establecida usando funciones elípticas es

${\ Displaystyle \ omega _ {2} \ eta _ {1} - \ omega _ {1} \ eta _ {2} = 2 \ pi i \,}$

donde ω ₁ y ω ₂ son los períodos de la función elíptica de Weierstrass , y η ₁ y η ₂ son los cuasiperiodos de la función zeta de Weierstrass . Algunos autores normalizan estos de una manera diferente diferenciándose por factores de 2, en cuyo caso el lado derecho de la relación de Legendre es π i o  π i  / 2. Esta relación puede demostrarse integrando la función zeta de Weierstrass sobre el límite de un región fundamental y aplicando el teorema del residuo de Cauchy .

Referencias

• Duren, Peter (1991), "La relación de Legendre para integrales elípticas", en Ewing, John H .; Gehring, FW (eds.), Paul Halmos. Celebrando 50 años de matemáticas , Nueva York: Springer-Verlag, págs.  305-315 , doi : 10.1007 / 978-1-4612-0967-6_32 , ISBN 0-387-97509-8, MR  1113282
• Karatsuba, EA; Vuorinen, M. (2001), "Sobre funciones hipergeométricas y generalizaciones de la relación de Legendre", J. Math. Anal. Apl. , 260 (2): 623–640, MR  1845572
• Legendre, AM (1811), Exercices de calcul intégral sur divers ordres de trascendantes et sur les quadratures , I , París
• Legendre, AM (1825), Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes , I , París